Частинні похідні вищих порядків.

Якщо функція f (x, y) визначена в деякій області D, то її частки похідні й теж будуть визначені в тій же області або її частині.

Будемо називати ці похідні частинними похідними першого порядку.

Похідні цих функцій будуть частинними похідними другого порядку.

Продовжуючи диференціювати отримані рівності, одержимо частинні похідні вищих порядків.

Визначення. Частинні похідні виду і далі називаються змішаними похідними.

Теорема. Якщо функція f(x, y) і її частинні похідні визначені й неперервні в точці М(х, у) і її околі, то вірне співвідношення:

.

Тобто частинні похідні вищих порядків не залежать від порядку диференціювання.

Аналогічно визначаються диференціали вищих порядків.

…………………

Тут n – символічний ступінь похідної, на яку заміняється реальний ступінь після піднесення до нього виразу в дужках.