Геометричний зміст повного диференціала. Дотична площина й нормаль до поверхні.
нормаль
N
N0
дотична площина
Нехай N і N0 – точки даної поверхні. Проведемо пряму NN0. Площина, що проходить через точку N0, називається дотичною площиною до поверхні, якщо кут між січної NN0 і цією площиною прямує до нуля, коли прямує до нуля відстань NN0.
Визначення. Нормаллю до поверхні в точці N0 називається пряма, що проходить через точку N0 перпендикулярно дотичній площини до цієї поверхні.
У будь-якій точці поверхня має або тільки одну дотичну площину, або не має її зовсім.
Якщо поверхня задана рівнянням z = f(x, y), де f(x, y) – функція, диференційована в точці М0(х0, y0), дотична площина в точці N0(x0,y0) існує й має рівняння:
.
Рівняння нормалі до поверхні в цій точці:
Геометричним змістом повного диференціала функції двох змінних f(x, y) у точці (х0, y0) є приріст аплікати (координати z) дотичної площини до поверхні при переході від точки (х0, y0) до точки (х0+х, y0+у).
Як видно, геометричний зміст повного диференціала функції двох змінних є просторовим аналогом геометричного змісту диференціала функції однієї змінної.
Приклад. Знайти рівняння дотичної площини й нормалі до поверхні
у точці М(1, 1, 1).
Рівняння дотичної площини:
Рівняння нормалі:
Yandex.RTB R-A-252273-3
- Диференціальне числення функції однієї змінної. Похідна функції, її геометричний і фізичний зміст.
- Однобічні похідні функції в точці.
- Похідна показниково-степеневої функції.
- Похідна оберненої функцій.
- Диференціал функції.
- Формула Тейлора.
- Формула Маклорена.
- Подання деяких елементарних функцій за формулою Тейлора.
- Застосування диференціала до наближених обчислень.
- Теореми про середнє. Теорема Ролля.
- Теорема Лагранжа.
- Теорема Коші.
- Розкриття невизначеностей. Правило Лопіталя.
- Точки екстремуму.
- Дослідження функції на екстремум за допомогою похідних вищих порядків.
- Опуклість і увігнутість кривої. Точки перегину.
- Асимптоти.
- Вертикальні асимптоти.
- Похилі асимптоти.
- Векторна функція скалярного аргументу.
- Властивості похідної векторної функції скалярного аргументу.
- Параметричне задання функції.
- Рівняння деяких типів кривих у параметричній формі. Коло.
- Циклоїда.
- Астроїда.
- Похідна функції, заданої параметрично.
- Кривизна плоскої кривої.
- Властивості еволюти.
- Кривизна просторової кривої.
- Про формули Френе.
- Інтегральне числення. Первісна функція.
- Невизначений інтеграл.
- Методи інтегрування.
- Безпосереднє інтегрування.
- Спосіб підстановки (заміни змінних).
- Інтегрування частинами.
- Інтегрування елементарних дробів.
- Інтегрування раціональних функцій. Інтегрування раціональних дробів.
- Інтегрування деяких тригонометричних функцій.
- Інтеграл виду .
- Інтеграл виду , якщо функція r є непарною відносно cos X.
- Інтегрування деяких ірраціональних функцій.
- Інтеграл виду де n – натуральне число.
- Інтегрування біноміальних диференціалів.
- Інтеграли виду .
- 1 Спосіб. Тригонометрична підстановка.
- 2 Спосіб. Підстановки Ейлера. (1707–1783)
- 3 Спосіб. Метод невизначених коефіцієнтів.
- Кілька прикладів інтегралів, що не виражаються через елементарні функції.
- Визначений інтеграл.
- Властивості визначеного інтеграла.
- Обчислення визначеного інтеграла.
- Заміна змінних.
- Інтегрування частинами.
- Наближене обчислення визначеного інтеграла.
- Формула прямокутників.
- Формула трапецій.
- Формула парабол
- Невласні інтеграли.
- Інтеграл від розривної функції.
- Геометричні застосування визначеного інтеграла. Обчислення площ плоских фігур.
- Знаходження площі криволінійного сектора.
- Обчислення довжини дуги кривої.
- Обчислення об'ємів тіл. Обчислення об'єму тіла за відомими площами його паралельних перетинів.
- Об'єм тіл обертання.
- Площа поверхні тіла обертання.
- Функції декількох змінних
- Похідні й диференціали функцій декількох змінних.
- Повний приріст і повний диференціал.
- Геометричний зміст повного диференціала. Дотична площина й нормаль до поверхні.
- Наближені обчислення за допомогою повного диференціала.
- Частинні похідні вищих порядків.
- Екстремум функції декількох змінних.
- Умовний екстремум.
- Похідна за напрямком.
- Градієнт.
- Зв'язок градієнта з похідною за напрямком.
- Кратні інтеграли.
- Подвійні інтеграли.
- Умови існування подвійного інтеграла.
- Властивості подвійного інтеграла.
- Обчислення подвійного інтеграла.
- Заміна змінних у подвійному інтегралі.
- Подвійний інтеграл у полярних координатах.
- Потрійний інтеграл.
- Заміна змінних у потрійному інтегралі.
- Циліндрична система координат.
- Сферична система координат.
- Геометричні й фізичні застосування кратних інтегралів.