Заміна змінних.

Нехай заданий інтеграл , де f(x) – неперервна функція на відрізку [a, b].

Введемо нову змінну відповідно до формули x =  (t).

Тоді якщо

1) () = а, () = b

2) (t) і (t) неперервні на відрізку [, ]

3) f ((t)) визначена на відрізку [, ], то

Тоді

Приклад.

При заміні змінної в визначеному інтегралі слід пам'ятати про те, що вводять функцію, що (у розглянутому прикладі це функція sin) повинна бути неперервна на відрізку інтегрування. У противному випадку формальне застосування формули приводить до абсурду.

Приклад.

, з іншого боку, якщо застосувати тригонометричну підстановку,

Тобто два способи знаходження інтеграла дають різні результати. Це відбулося через те, що не був врахований той факт, що уведена змінна tg x має на відрізку інтегрування розрив (у точці х = /2). Тому в цьому випадку така підстановка незастосовна. При заміні змінної в визначеному інтегралі слід уважно стежити за виконанням перерахованих вище умов.