Похідна оберненої функцій.

Нехай потрібно знайти похідну функції у = f(x) за умови, що обернена їй функція x = g(y) має похідну, відмінну від нуля у відповідній точці.

Для розв’язання цієї задачі диференціюємо функцію x = g(y) по х:

оскільки g(y)  0

тобто похідна оберненої функції обернена за величиною похідною даної функції.

Приклад. Знайти формулу для похідної функції arctg.

Функція arctg є функцією, зворотною функції tg, тобто її похідна може бути знайдена в такий спосіб:

Відомо, що

За наведеною вище формулою одержуємо:

Оскільки то можна записати остаточну формулу для похідної арктангенса:

У такий спосіб отримані всі формули для похідних арксинуса, арккосинуса й інших зворотних функцій, наведених у таблиці похідних.