lect2
Заміна змінних у подвійному інтегралі.
Розглянемо подвійний інтеграл виду , де змінна х змінюється в границях від a до b, а змінна y – від 1(x) до 2(х).
Покладемо х = f(u, v); y = (u, v)
Тоді dx = ; dy = ;
оскільки при першому інтегруванні змінна х приймається за сталу, то dx = 0.
, тобто
підставляючи цей вираз в записане вище співвідношення для dy, одержуємо:
Вираз називається визначником Якобі або Якобіаном функцій f(u, v) і (u, v).
(Якобі Карл Густав Якоб – (1804–1851) – німецький математик)
Тоді
Оскільки при першому інтегруванні наведений вище вираз для dx приймає вигляд ( при першому інтегруванні думаємо v = const, dv = 0), то при зміні порядку інтегрування, одержуємо співвідношення:
Yandex.RTB R-A-252273-3
Содержание
- Диференціальне числення функції однієї змінної. Похідна функції, її геометричний і фізичний зміст.
- Однобічні похідні функції в точці.
- Похідна показниково-степеневої функції.
- Похідна оберненої функцій.
- Диференціал функції.
- Формула Тейлора.
- Формула Маклорена.
- Подання деяких елементарних функцій за формулою Тейлора.
- Застосування диференціала до наближених обчислень.
- Теореми про середнє. Теорема Ролля.
- Теорема Лагранжа.
- Теорема Коші.
- Розкриття невизначеностей. Правило Лопіталя.
- Точки екстремуму.
- Дослідження функції на екстремум за допомогою похідних вищих порядків.
- Опуклість і увігнутість кривої. Точки перегину.
- Асимптоти.
- Вертикальні асимптоти.
- Похилі асимптоти.
- Векторна функція скалярного аргументу.
- Властивості похідної векторної функції скалярного аргументу.
- Параметричне задання функції.
- Рівняння деяких типів кривих у параметричній формі. Коло.
- Циклоїда.
- Астроїда.
- Похідна функції, заданої параметрично.
- Кривизна плоскої кривої.
- Властивості еволюти.
- Кривизна просторової кривої.
- Про формули Френе.
- Інтегральне числення. Первісна функція.
- Невизначений інтеграл.
- Методи інтегрування.
- Безпосереднє інтегрування.
- Спосіб підстановки (заміни змінних).
- Інтегрування частинами.
- Інтегрування елементарних дробів.
- Інтегрування раціональних функцій. Інтегрування раціональних дробів.
- Інтегрування деяких тригонометричних функцій.
- Інтеграл виду .
- Інтеграл виду , якщо функція r є непарною відносно cos X.
- Інтегрування деяких ірраціональних функцій.
- Інтеграл виду де n – натуральне число.
- Інтегрування біноміальних диференціалів.
- Інтеграли виду .
- 1 Спосіб. Тригонометрична підстановка.
- 2 Спосіб. Підстановки Ейлера. (1707–1783)
- 3 Спосіб. Метод невизначених коефіцієнтів.
- Кілька прикладів інтегралів, що не виражаються через елементарні функції.
- Визначений інтеграл.
- Властивості визначеного інтеграла.
- Обчислення визначеного інтеграла.
- Заміна змінних.
- Інтегрування частинами.
- Наближене обчислення визначеного інтеграла.
- Формула прямокутників.
- Формула трапецій.
- Формула парабол
- Невласні інтеграли.
- Інтеграл від розривної функції.
- Геометричні застосування визначеного інтеграла. Обчислення площ плоских фігур.
- Знаходження площі криволінійного сектора.
- Обчислення довжини дуги кривої.
- Обчислення об'ємів тіл. Обчислення об'єму тіла за відомими площами його паралельних перетинів.
- Об'єм тіл обертання.
- Площа поверхні тіла обертання.
- Функції декількох змінних
- Похідні й диференціали функцій декількох змінних.
- Повний приріст і повний диференціал.
- Геометричний зміст повного диференціала. Дотична площина й нормаль до поверхні.
- Наближені обчислення за допомогою повного диференціала.
- Частинні похідні вищих порядків.
- Екстремум функції декількох змінних.
- Умовний екстремум.
- Похідна за напрямком.
- Градієнт.
- Зв'язок градієнта з похідною за напрямком.
- Кратні інтеграли.
- Подвійні інтеграли.
- Умови існування подвійного інтеграла.
- Властивості подвійного інтеграла.
- Обчислення подвійного інтеграла.
- Заміна змінних у подвійному інтегралі.
- Подвійний інтеграл у полярних координатах.
- Потрійний інтеграл.
- Заміна змінних у потрійному інтегралі.
- Циліндрична система координат.
- Сферична система координат.
- Геометричні й фізичні застосування кратних інтегралів.