Диференціальне числення функції однієї змінної. Похідна функції, її геометричний і фізичний зміст.

Визначення. Похідної функції f(x) у точці х = х₀ називається границя відносини приросту функції в цій точці до приросту аргументу, якщо він існує.

у

f(x)

f(x₀ +x) P

f

f(x₀) M

  x

0 x₀ x₀ + x x

Нехай f(x) визначена на деякому проміжку (a, b). Тоді – тангенс кута нахилу січної МР до графіка функції.

,

де  – кут нахилу дотичній до графіка функції f(x) у точці (x₀, f(x₀)).

Кут між кривими може бути визначений як кут між дотичними, проведеними до цих кривих у який-небудь точці.

Рівняння дотичної до кривої:

Рівняння нормалі до кривої: .

Фактично похідна функції показує начебто швидкість зміни функції, як змінюється функція при зміні змінної.

Фізичний зміст похідної функції f(t), де t – час, а f(t) – закон руху (зміни координат) – миттєва швидкість руху.

Відповідно, друга похідна функції – швидкість зміни швидкості, тобто прискорення.