3 Спосіб. Метод невизначених коефіцієнтів.

Розглянемо інтеграли наступних трьох типів:

де P(x) – багаточлен, n – натуральне число.

Причому інтеграли II і III типів можуть бути легко наведені до виду інтеграла I типу.

Далі робиться наступне перетворення:

у цьому виразі Q(x) – деякий багаточлен, степінь якого нижче ступеня багаточлена P(x), а  – деяка стала величина.

Для знаходження невизначених коефіцієнтів багаточлена Q(x), степінь якого нижче степеня багаточлена P(x), диференціюють обидві частини отриманого виразу, потім множать на й, порівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях х, визначають  і коефіцієнти багаточлена Q(x).

Даний метод вигідно застосовувати, якщо степінь багаточлена Р(х) більше одиниці. У противному випадку можна успішно використати методи інтегрування раціональних дробів, розглянуті вище, тому що лінійна функція є похідною підкореневого виразу.

Приклад.

.

Тепер продиференціюємо отриманий вираз, помножимо на й згрупуємо коефіцієнти при однакових ступенях х.

=

=

Разом =

=

Приклад.

Приклад.

Інший спосіб розв’язання того ж приклада.

З врахуванням того, що функції arcsin і arccos зв'язані співвідношенням , а стала інтегрування C – довільне число, відповіді, отримані різними методами, збігаються.

Як видно, при інтегруванні ірраціональних функцій можливо застосовувати різні розглянуті вище прийоми. Вибір методу інтегрування обумовлюється в основному найбільшою зручністю, очевидністю застосування того або іншого методу, а також складністю обчислень і перетворень.

Приклад.