lect2
Площа поверхні тіла обертання.
Мi B
А
x
xi
Визначення: Площею поверхні обертання кривої АВ навколо даної осі називають границю, до якої прямують площі поверхонь обертання ламаних, вписаних у криву АВ, при прямуванні до нуля найбільших з довжин ланок цих ламаних.
Розіб'ємо дугу АВ на n частин точками M0, M1, M2, … , Mn ... Координати вершин отриманої ламаної мають координати xi і yi. При обертанні ламаної навколо осі одержимо поверхню, що складається з бічних поверхонь усічених конусів, площа яких дорівнює Pi. Ця площа може бути знайдена за формулою:
Тут Si – довжина кожної хорди.
Застосовуємо теорему Лагранжа (див. Теорема Лагранжа.) до відношення .
Одержуємо:
Тоді
Площа поверхні, описаної ламаної дорівнює:
Ця сума не є інтегральної, але можна показати, що
Тоді – формула обчислення площі поверхні тіла обертання.
Yandex.RTB R-A-252273-3
Содержание
- Диференціальне числення функції однієї змінної. Похідна функції, її геометричний і фізичний зміст.
- Однобічні похідні функції в точці.
- Похідна показниково-степеневої функції.
- Похідна оберненої функцій.
- Диференціал функції.
- Формула Тейлора.
- Формула Маклорена.
- Подання деяких елементарних функцій за формулою Тейлора.
- Застосування диференціала до наближених обчислень.
- Теореми про середнє. Теорема Ролля.
- Теорема Лагранжа.
- Теорема Коші.
- Розкриття невизначеностей. Правило Лопіталя.
- Точки екстремуму.
- Дослідження функції на екстремум за допомогою похідних вищих порядків.
- Опуклість і увігнутість кривої. Точки перегину.
- Асимптоти.
- Вертикальні асимптоти.
- Похилі асимптоти.
- Векторна функція скалярного аргументу.
- Властивості похідної векторної функції скалярного аргументу.
- Параметричне задання функції.
- Рівняння деяких типів кривих у параметричній формі. Коло.
- Циклоїда.
- Астроїда.
- Похідна функції, заданої параметрично.
- Кривизна плоскої кривої.
- Властивості еволюти.
- Кривизна просторової кривої.
- Про формули Френе.
- Інтегральне числення. Первісна функція.
- Невизначений інтеграл.
- Методи інтегрування.
- Безпосереднє інтегрування.
- Спосіб підстановки (заміни змінних).
- Інтегрування частинами.
- Інтегрування елементарних дробів.
- Інтегрування раціональних функцій. Інтегрування раціональних дробів.
- Інтегрування деяких тригонометричних функцій.
- Інтеграл виду .
- Інтеграл виду , якщо функція r є непарною відносно cos X.
- Інтегрування деяких ірраціональних функцій.
- Інтеграл виду де n – натуральне число.
- Інтегрування біноміальних диференціалів.
- Інтеграли виду .
- 1 Спосіб. Тригонометрична підстановка.
- 2 Спосіб. Підстановки Ейлера. (1707–1783)
- 3 Спосіб. Метод невизначених коефіцієнтів.
- Кілька прикладів інтегралів, що не виражаються через елементарні функції.
- Визначений інтеграл.
- Властивості визначеного інтеграла.
- Обчислення визначеного інтеграла.
- Заміна змінних.
- Інтегрування частинами.
- Наближене обчислення визначеного інтеграла.
- Формула прямокутників.
- Формула трапецій.
- Формула парабол
- Невласні інтеграли.
- Інтеграл від розривної функції.
- Геометричні застосування визначеного інтеграла. Обчислення площ плоских фігур.
- Знаходження площі криволінійного сектора.
- Обчислення довжини дуги кривої.
- Обчислення об'ємів тіл. Обчислення об'єму тіла за відомими площами його паралельних перетинів.
- Об'єм тіл обертання.
- Площа поверхні тіла обертання.
- Функції декількох змінних
- Похідні й диференціали функцій декількох змінних.
- Повний приріст і повний диференціал.
- Геометричний зміст повного диференціала. Дотична площина й нормаль до поверхні.
- Наближені обчислення за допомогою повного диференціала.
- Частинні похідні вищих порядків.
- Екстремум функції декількох змінних.
- Умовний екстремум.
- Похідна за напрямком.
- Градієнт.
- Зв'язок градієнта з похідною за напрямком.
- Кратні інтеграли.
- Подвійні інтеграли.
- Умови існування подвійного інтеграла.
- Властивості подвійного інтеграла.
- Обчислення подвійного інтеграла.
- Заміна змінних у подвійному інтегралі.
- Подвійний інтеграл у полярних координатах.
- Потрійний інтеграл.
- Заміна змінних у потрійному інтегралі.
- Циліндрична система координат.
- Сферична система координат.
- Геометричні й фізичні застосування кратних інтегралів.