Подвійні інтеграли.

Розглянемо на площині деяку замкнуту криву, рівняння якої f (x, y) = 0.

y

0 x

Сукупність всіх точок, що лежать усередині кривої і на самій кривій назвемо замкнутою областю . Якщо вибрати точки області без врахування точок, що лежать на кривій, область буде називається незамкнутою областю .

З геометричної точки зору  – площа фігури, обмеженої контуром.

Розіб'ємо область  на n часткових областей сіткою прямих, що відстоять одна від одної по осі х на відстані х_i, а по осі y – на у_i. Загалом кажучи, такий порядок розбивки необов'язковий, можлива розбивка області на часткові ділянки довільної форми й розміру.

Одержуємо, що площа S ділиться на елементарні прямокутники, площі яких рівні S_i = x_i  y_i.

У кожній частковій області візьмемо довільну точку Р(х_i, y_i) і складемо інтегральну суму

де f – функція неперервна й однозначна для всіх точок області .

Якщо нескінченно збільшувати кількість часткових областей _i, тоді, очевидно, площа кожної часткової ділянки S_i прямує до нуля.

Визначення: Якщо при прямуванні до нуля кроку розбивки області  інтегральні суми мають скінченну границю, то ця границя називається подвійним інтегралом від функції f(x, y) по області .

З врахуванням того, що S_i = x_i  y_i одержуємо:

У наведенім вище записі є два знаки , тому що підсумовування виробляється по двох змінним х і y.

Оскільки ділення області інтегрування довільне, також довільний і вибір точок Р_i, то, вважаючи всі площі S_i однаковими, одержуємо формулу: