Кривизна плоскої кривої.

 

В

А А В

Визначення: Кут  повороту дотичної до кривої при переході від точки А до точки В називається кутом суміжності.

Відповідно, вигнутіша та крива, у якої при однаковій довжині більше кут суміжності.

Визначення: Середньою кривизною К_ср дуги називається відношення відповідного кута суміжності  до довжини дуги .

Відзначимо, що для однієї кривої середня кривизна її різних частин може бути різної, тобто дана величина характеризує не криву цілком, а деяка її ділянка.

Визначення: Кривизною дуги в точці К_А називається границя середньої кривизни при прямуванні довжини дуги  0.

Легко бачити, що якщо позначити = ш, то за умови, що кут  – функція, що залежить від S і диференційована, то

Визначення: Радіусом кривизни кривої називається величина .

Нехай крива задана рівнянням y = f(x).

y

B



A  +

x

K_cp = ; ;

Якщо  =  (x) і S = S(x), то .

У той же час .

Для диференціала дуги: , тоді

Оскільки . В інших позначеннях: .

Розглянемо криву, задану рівнянням: y = f(x).

A

C(a, b)

Якщо побудувати в точці А кривої нормаль, спрямовану убік опуклості, то можна відкласти відрізок АС = R, де R – радіус кривизни кривої у точці А. Тоді точка C(a, b) називається центром кривизни кривої у точці А.

Коло радіуса R із центром у точці C називається колом кривизни.

Очевидно, що в точці А кривизна кривої і кривизна кола рівні.

Можна показати, що координати центра кривизни можуть бути знайдені за формулами:

Визначення: Сукупність всіх центрів кривизни кривої лінії утворять нову лінію, що називається еволютою стосовно даної кривої. Стосовно еволюти вихідна крива називається евольвентою.

Наведені вище рівняння, що визначають координати центрів кривизни кривої визначають рівняння еволюти.