Дослідження функції на екстремум за допомогою похідних вищих порядків.

Нехай у точці х = х₁ f (x₁) = 0 і f (x₁) існує й неперервна в деякому околі точки х₁.

Теорема. Якщо f(x₁) = 0, то функція f(x) у точці х = х₁ має максимум, якщо f (x₁) < 0 і мінімум, якщо f (x₁) > 0.

Доведення.

Нехай f (x₁) = 0 і f (x₁) < 0. Оскільки функція f(x) неперервна, то f (x₁) буде від’ємною й у деякій малому околі точки х₁.

Оскільки f (x) = (f (x)) < 0, то f (x) спадає на відрізку, що містить точку х₁, але f (x₁)=0, тобто f (x) > 0 при х<x₁ і f (x) < 0 при x > x₁. Це й означає, що при переході через точку х = х₁ похідна f (x) міняє знак з “+” на “–“, тобто в цій точці функція f(x) має максимум.

Для випадку мінімуму функції теорема доводиться аналогічно.

Якщо f(x) = 0, то характер критичної точки невідомий. Для його визначення потрібне подальше дослідження.