Формула парабол

(формула Сімпсона або квадратурна формула).

(Томас Сімпсон (1710–1761) – англійський математик)

Розділимо відрізок інтегрування [a, b] на парне число відрізків (2m). Площу криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції f(x) замінимо на площу криволінійної трапеції, обмеженою параболою другого ступеня з віссю симетрії, паралельною осі Оу, такої що проходить через точки кривої, зі значеннями f(x₀), f(x₁), f(x₂).

Для кожної пари відрізків побудуємо таку параболу.

y

0 х₀ х₁ х₂ х₃ x₄ х

Рівняння цих парабол мають вигляд Ax² + Bx + C, де коефіцієнти А, В, C можуть бути легко знайдені по трьох точках перетину параболи з вихідною кривою.

(1)

Позначимо .

Якщо прийняти

х₀ = – h, x₁ = 0, x₂ = h, то (2)

Тоді рівняння значень функції (1) мають вигляд:

З врахуванням цього: .

Звідси рівняння (2) прийме вид:

Тоді

Складаючи ці вирази, одержуємо формулу Сімпсона:

Чим більше взяти число m, тим більше точне значення інтеграла буде отримано.

Приклад. Обчислити наближене значення визначеного інтеграла

за допомогою формули Сімпсона, розбивши відрізок інтегрування на 10 частин.

За формулою Сімпсона одержимо:

Точне значення цього інтеграла – 91,173.

Як видно, навіть при порівняно великому кроці розбивки точність отриманого результату цілком задовільна.

Для порівняння застосуємо до цієї ж задачі формулу трапецій.

Формула трапецій дала менш точний результат у порівнянні з формулою Сімпсона.

Крім перерахованих вище способів, можна обчислити значення визначеного інтеграла за допомогою розкладу підінтегральної функції в степеневої ряд.

Принцип цього методу полягає в тому, щоб замінити підінтегральну функцію за формулою Тейлора і почленно проінтегрувати отриману суму.

Приклад. З точністю до 0,001 обчислити інтеграл

Оскільки інтегрування проводиться в околі точки х=0, то можна скористатися для розкладу підінтегральної функції формулою Маклорена.

Розклад функції cos x має вигляд:

Знаючи розклад функції cos х легко знайти функцію 1 – cos x:

У цій формулі підсумовування проводиться по п від 1 нескінченно, а в попередній – від 0 до нескінченності. Це – не помилка, так виходить у результаті перетворення.

Тепер представимо у вигляді ряду підінтегральний вираз.

Тепер представимо наш інтеграл у вигляді:

У наступній дії буде застосована теорема про почленне інтегрування ряду. (Тобто інтеграл від суми буде представлений у вигляді суми інтегралів членів ряду).

Загалом кажучи, зі строго теоретичної точки зору для застосування цієї теореми треба довести, що ряд збігається й, більше того, збігається рівномірно на відрізку інтегрування [0, 0,5]. Ці питання будуть докладно розглянуті пізніше (Див. Дії зі степеневими рядами.) Відзначимо лише, що в нашому випадку подібна дія справедлива хоча б з властивостей визначеного інтеграла (інтеграл від суми дорівнює сумі інтегралів).

Отже:

Разом, одержуємо:

Як видно, абсолютна величина членів ряду дуже швидко зменшується, і необхідна точність досягається вже при третьому члені розкладу.

Для довідки: точне (вірніше – більше точне) значення цього інтеграла: 0,2482725418...