Інтегрування частинами.

Спосіб заснований на відомій формулі похідної добутку:

(uv) = uv + vu

де u і v – деякі функції від х.

У диференціальній формі: d(uv) = udv + vdu

Проінтегрувавши, одержуємо: , а відповідно до наведених вище властивостей невизначеного інтеграла:

або ;

Одержали формулу інтегрування частинами, що дозволяє знаходити інтеграли багатьох елементарних функцій.

Приклад.

Як видно, послідовне застосування формули інтегрування частинами дозволяє поступово спростити функцію й привести інтеграл до табличного.

Приклад.

Видно, що в результаті повторного застосування інтегрування частинами функцію не вдалося спростити до табличного виду. Однак, останній отриманий інтеграл нічим не відрізняється від вихідного. Тому перенесемо його в ліву частину рівності.

Таким чином, інтеграл знайдений взагалі без застосування таблиць інтегралів.

Перш ніж розглянути докладно методи інтегрування різних класів функцій, наведемо ще кілька прикладів знаходження невизначених інтегралів приведенням їх до табличного.

Приклад.

Приклад.

Приклад.

Приклад.

Приклад.

Приклад.

Приклад.

Приклад.

Приклад.

Приклад.