Повний приріст і повний диференціал.

Визначення. Для функції f(x, y) вираз z = f( x + x, y + y) – f(x, y) називається повним приростом.

Якщо функція f(x, y) має неперервні частинні похідні, то

Застосуємо теорему Лагранжа (див. Теорема Лагранжа.) до виразів, що стоять у квадратних дужках.

тут

Тоді одержуємо

Оскільки частинні похідні неперервні, то можна записати рівності:

Визначення. Вираз називається повним приростом функції f(x, y) у деякій точці (х, у), де ₁ і ₂ – нескінченно малі функції при х  0 і y  0 відповідно.

Визначення: Повним диференціалом функції z = f(x, y) називається головна лінійна відносно х і у частина приросту функції z у точці (х, у).

Для функції довільного числа змінних:

Приклад. Знайти повний диференціал функції .

Приклад. Знайти повний диференціал функції