Інтегрування раціональних функцій. Інтегрування раціональних дробів.

Для того, щоб проінтегрувати раціональний дріб необхідно розкласти його на елементарні дроби.

Теорема: Якщо – правильний раціональний дріб, знаменник P(x) якого представлений у вигляді добутку лінійних і квадратичних множників (відзначимо, що будь-який багаточлен з дійсними коефіцієнтами може бути представлений у такому вигляді: P(x) = (x – a)^…(x-b)^(x²+px+q)^…(x²+rx+s)^), то цей дріб може бути розкладена на елементарні за наступною схемою:

де A_i, B_i, M_i, N_i, R_i, S_i – деякі постійні величини.

При інтегруванні раціональних дробів вдаються до розкладу вихідного дробу на елементарні. Для знаходження величин A_i, B_i, M_i, N_i, R_i, S_i застосовують так званий метод невизначених коефіцієнтів, суть якого полягає в тому, що для того, щоб два багаточлени були тотожно рівні, необхідно й досить, щоб були рівні коефіцієнти при однакових ступенях х.

Застосування цього методу розглянемо на конкретному прикладі.

Приклад.

Оскільки , то

Приводячи до спільного знаменника й дорівнюючи відповідні чисельники, одержуємо:

Отже:

Приклад.

Оскільки дріб неправильний, то попередньо слід виділити в ньому цілу частину:

6x⁵ – 8x⁴ – 25x³ + 20x² – 76x – 7 3x³ – 4x² – 17x + 6

6x⁵ – 8x⁴ – 34x³ + 12x² 2x² + 3

9x³ + 8x² – 76x – 7

9x³ – 12x² – 51x +18

20x² – 25x – 25

Розкладемо знаменник отриманого дробу на множники. Видно, що при х = 3 знаменник дробу перетворюється в нуль. Тоді:

3x³ – 4x² – 17x + 6 x – 3

3x³ – 9x² 3x² + 5x – 2

5x² – 17x

5x² – 15x

– 2x + 6

– 2x + 6

0

Таким чином 3x³ – 4x² – 17x + 6 = (x – 3)(3x² + 5x – 2) = (x – 3)(x + 2 )(3x – 1). Тоді:

Для того, щоб уникнути при знаходженні невизначених коефіцієнтів розкриття дужок, групування й розв’язання системи рівнянь (яка в деяких випадках може виявитися досить великою) застосовують так званий метод довільних значень. Суть методу полягає в тому, що в отриманий вище вираз підставляються по черзі декілька (по числу невизначених коефіцієнтів) довільних значень х. Для спрощення обчислень прийнято як довільні значення приймати точки, при яких знаменник дробу дорівнює нулю, тобто в нашому випадку – 3, – 2, 1/3. Одержуємо:

Остаточно одержуємо:

=

Приклад.

Знайдемо невизначені коефіцієнти:

Тоді значення заданого інтеграла: