Теорема Коші.

(Коші (1789–1857) – французький математик)

Якщо функції f(x) і g(x) неперервні на відрізку [a, b] і диференційовані на інтервалі (a, b) і g(x)  0 на інтервалі (a, b), то існує принаймні одна точка , a <  < b, така, що

.

Тобто відношення приростів функцій на даному відрізку дорівнює відношенню похідних у точці .

Для доведення цієї теореми на перший погляд дуже зручно скористатися теоремою Лагранжа. Записати формулу скінченних різниць для кожної функції, а потім розділити їхній одну на одну. Однак, це враження помилкове, тому що точка  для кожної з функцій в загальному випадку різна. Звичайно, у деяких окремих випадках ця точка інтервалу може виявитися однаковою для обох функцій, але це – дуже рідкий збіг, а не правило, тому не може бути використаний для доведення теореми.

Доведення. Розглянемо допоміжну функцію

,

яка на інтервалі [a, b] задовольняє умовам теореми Ролля. Легко бачити, що при х = а й х = b F(a) = F(b) = 0. Тоді за теоремою Ролля існує така точка , a <  < b, така, що F() = 0. Оскільки

, то

А оскільки , то

Теорему доведено.

Слід зазначити, що розглянута вище теорема Лагранжа є частковим випадком (при g(x) = x) теореми Коші. Доведена нами теорема Коші дуже широко використається для розкриття так званих невизначеностей. Застосування отриманих результатів дозволяє істотно спростити процес обчислення границь функцій, що буде докладно розглянуто нижче.