Векторна функція скалярного аргументу.

z

A(x, y, z)

y

х

Нехай деяка крива в просторі заданий параметрично:

x =  (t); y =  (t); z = f(t);

Радіус-вектор довільної точки кривої: .

Таким чином, радіус-вектор точки кривої може розглядатися як деяка векторна функція скалярного аргументу t. При зміні параметра t змінюється величина і напрямок вектора .

Запишемо співвідношення для деякої точки t₀:

Тоді вектор – границя функції (t). .

Очевидно, що

, тоді

.

Щоб знайти похідну векторної функції скалярного аргументу, розглянемо приріст радіус-вектора при деякому прирості параметра t.

; ;

або, якщо існують похідні  (t),  (t), f (t), то

Цей вираз – вектор похідна вектора .

Якщо є рівняння кривої:

x =  (t); y =  (t); z = f(t);

то в довільній точці кривої А(x_А, y_А, z_А) з радіус-вектором

можна провести пряму з рівнянням

Оскільки похідна – вектор, спрямований по дотичній до кривої, то

.