Кривизна просторової кривої.

z

A(x, y, z)

B

O y

x

Для довільної точки А, що перебуває на просторовій кривій, координати можуть бути визначені як функції деякої довжини дуги S.

x =  (S); y =  (S); z = f (S);

Наведене вище рівняння називають векторним рівнянням лінії в просторі.

Визначення: Лінія, що опише в просторі змінний радіус-вектор при зміні параметра S, називається годографом цього вектора.

, тоді – вектор, спрямований по дотичній до кривої в точці А(x, y, z).

Але оскільки , то – одиничний вектор, спрямований по дотичній.

Якщо прийняти , то .

Причому .

Розглянемо другу похідну

Визначення: Пряма з напрямком, що співпадає з напрямком вектора називається головною нормаллю до кривої. Її одиничний вектор позначається .

, де K – кривизна кривої.

Кривизна просторової кривої може бути знайдена за формулою:

Можливий й інший запис формули для кривизни просторової кривої (вона виходить із наведеної вище формули):

Визначення: Вектор називається вектором кривизни. Величина називається радіусом кривизни.