Точки екстремуму.

Визначення. Функція f(x) має в точці х₁ максимум, якщо її значення в цій точці більше значень у всіх точках деякого інтервалу, що містить точку х₁. Функція f(x) має в точці х₂ мінімум, якщо f(x₂ +x) > f(x₂) при кожному х (х може бути й від’ємним).

Очевидно, що функція, визначена на відрізку може мати максимум і мінімум тільки в точках, що перебувають усередині цього відрізка. Не можна також плутати максимум і мінімум функції з її найбільшим і найменшим значенням на відрізку – це поняття принципово різні.

Визначення. Точки максимуму й мінімуму функції називаються точками екстремуму.

Теорема. (необхідна умова існування екстремуму) Якщо функція f(x) диференційована в точці х = х₁ і точка х₁ є точкою екстремуму, то похідна функції обертається в нуль у цій точці.

Доведення. Припустимо, що функція f(x) має в точці х = х₁ максимум.

Тоді при досить малих позитивних х > 0 вірна нерівність:

, тобто

Тоді

За визначенням:

Тобто якщо х0, але х<0, то , а якщо х0, але х>0, то .

А можливо це тільки в тому випадку, якщо при х0 f (x₁) = 0.

Для випадку, якщо функція f(x) має в точці х₂ мінімум теорема доводиться аналогічно.

Теорему доведено.

Наслідок. Зворотне твердження невірно. Якщо похідна функції в деякій точці дорівнює нулю, то це ще не значить, що в цій точці функція має екстремум. Красномовний приклад цього – функція у = х³, похідна якої в точці х = 0 дорівнює нулю, однак у цій точці функція має тільки перегин, а не максимум або мінімум.

Визначення. Критичними точками функції називаються точки, у яких похідна функції не існує або дорівнює нулю.

Розглянута вище теорема дає нам необхідні умови існування екстремуму, але цього недостатньо.

Приклад: f (x) = x Приклад: f (x) =

y y

x

x

В точці х = 0 функція не має ні максимуму, ні мінімуму, ні похідної.

У точці х = 0 функція має мінімум, але не має похідної.

Загалом кажучи, функція f(x) може мати екстремум у точках, де похідна не існує або дорівнює нулю.

Теорема. (Достатні умови існування екстремуму)

Нехай функція f(x) неперервна в інтервалі (a, b), що містить критичну точку х₁, і диференційована у всіх точках цього інтервалу (крім, може бути, самої точки х₁).

Якщо при переході через точку х₁ ліворуч праворуч похідна функції f(x) міняє знак з “+” на “–“, то в точці х = х₁ функція f(x) має максимум, а якщо похідна міняє знак з “–“ на “+” – то функція має мінімум.

Доведення.

Нехай

За теоремою Лагранжа: f(x) – f(x₁) = f()(x – x₁), де x <  < x₁.

Тоді: 1) Якщо х < x₁, то  < x₁; f ()>0; f ()(x – x₁) < 0, отже

f(x) – f(x₁)<0 або f(x) < f(x₁).

2) Якщо х > x₁, то при  > x₁ f ()<0; f ()(x – x₁)<0, отже

f(x) – f(x₁)<0 або f(x) < f(x₁).

Оскільки відповіді збігаються, то можна сказати, що f(x) < f(x₁) у будь-яких точках поблизу х₁, тобто х₁ – точка максимуму.

Доведення теореми для точки мінімуму проводиться аналогічно.

Теорему доведено.

На основі вищесказаного можна виробити єдиний порядок дій при знаходженні найбільшого й найменшого значення функції на відрізку:

1. Знайти критичні точки функції.

2. Знайти значення функції в критичних точках.

3. Знайти значення функції на кінцях відрізка.

4. Обрати серед отриманих значень найбільше й найменше.