Обчислення об'ємів тіл. Обчислення об'єму тіла за відомими площами його паралельних перетинів.

Q(x_i–1)

Q(x_i)

a x_i–1 x_i b x

Нехай є тіло об'єму V. Площа будь-якого поперечного переріза тіла Q, відома як неперервна функція Q = Q(x). Розіб'ємо тіло на “шари” поперечними перерізами, що проходять через точки х_i розбивки відрізка [a, b]. Оскільки на будь-якому проміжному відрізку розбивки [x_i–1, x_i] функція Q(x) неперервна, то приймає на ньому найбільше й найменше значення. Позначимо їх відповідно M_i і m_i.

Якщо на цих найбільшому й найменшому перетинах побудувати циліндри з твірними, паралельними осі х, то об'єми цих циліндрів будуть відповідно рівні M_ix_i і m_ix_i тут x_i = x_i – x_i–1.

Зробивши такі побудови для всіх відрізків розбивки, одержимо циліндри, об'єми яких рівні відповідно й .

При прямуванні до нуля кроку розбивки , ці суми мають спільну границю:

Таким чином, об'єм тіла може бути знайдений за формулою:

Недоліком цієї формули є те, що для знаходження об'єму необхідно знати функцію Q(x), що досить проблематично для складних тіл.

Приклад: Знайти об'єм кулі радіуса R.

y

R y

– R O x R x

У поперечних перерізах кулі виходять кола змінного радіуса y. Залежно від поточної координати х цей радіус виражається за формулою .

Тоді функція площ перетинів має вигляд: Q(x) = .

Одержуємо об'єм кулі:

.

Приклад: Знайти об'єм довільної піраміди з висотою Н і площею основи S.

Q S

x H x

При перетині піраміди площинами, перпендикулярними висоті, у перетині одержуємо фігури, подібні до основи. Коефіцієнт подібності цих фігур дорівнює відношенню x/H, де х – відстань від площини перетину до вершини піраміди.

З геометрії відомо, що відношення площ подібних фігур дорівнює коефіцієнту подоби у квадраті, тобто

Звідси одержуємо функцію площ перетинів:

Знаходимо об'єм піраміди: