Інтегрування елементарних дробів.

Визначення: Елементарними називаються дроби наступних чотирьох типів:

I. III.

II. IV.

m, n – натуральні числа () і b² – 4ac <0.

Перші два типи інтегралів від елементарних дробів досить просто приводяться до табличних підстановкою t = ax + b.

II.

Розглянемо метод інтегрування елементарних дробів виду III.

Інтеграл дробу виду III може бути представлений у вигляді:

Тут у загальному вигляді показане приведення інтеграла дробу виду III до двох табличних інтегралів.

Розглянемо застосування зазначеної вище формули на прикладах.

Приклад.

Загалом кажучи, якщо в тричлена ax² + bx + c вираз b² – 4ac >0, то дріб за визначенням не є елементарним, однак, його можна інтегрувати зазначеним вище способом.

Приклад.

Приклад.

Розглянемо тепер методи інтегрування найпростіших дробів IV типу.

Спочатку розглянемо окремий випадок при М = 0, N = 1.

Тоді інтеграл виду можна шляхом виділення в знаменнику повного квадрата представити у вигляді . Зробимо наступне перетворення:

.

Другий інтеграл, що входить у цю рівність, будемо брати частинами.

Позначимо:

Для вихідного інтеграла одержуємо:

Отримана формула називається рекурентною. Якщо застосувати її n – 1 раз, то вийде табличний інтеграл .

Повернемося тепер до інтеграла від елементарного дробу виду IV у загальному випадку.

В отриманій рівності перший інтеграл за допомогою підстановки t = u² + s приводиться до табличного , а до другого інтеграла застосовується розглянута вище рекурентна формула.

Незважаючи на видиму складність інтегрування елементарного дробу виду IV, на практиці його досить легко застосовувати для дробів з невеликим ступенем n, а універсальність і загальність підходу уможливлює дуже просту реалізацію цього методу на ЕОМ.

Приклад: