Функції декількох змінних

При розгляді функцій декількох змінних обмежимося докладним описом функцій двох змінних, тому що всі отримані результати будуть справедливі для функцій довільного числа змінних.

Визначення: Якщо кожній парі незалежних одне від одного чисел (х, у) з деякої множини за якимось правилом ставиться у відповідність одне або кілька значень змінної z, то змінна z називається функцією двох змінних.

z = f(x, y)

Визначення: Якщо парі чисел (х, у) відповідає одне значення z, то функція називається однозначною, а якщо більше одного, то – багатозначною.

Визначення: Областю визначення функції z називається сукупність пар (х, у), при яких функція z існує.

Визначення: Околом точки М₀(х₀, y₀) радіуса r називається сукупність всіх точок (х, у), які задовольняють умові .

Визначення: Число А називається границею функції f (x, y) при прямуванні точки М(х, у) до точки М₀(х₀, y₀), якщо для кожного числа  > 0 знайдеться таке число r > 0, що для будь-якої точки М(х, у), для якої вірна умова

також вірна й умова .

Записують:

Визначення: Нехай точка М₀(х₀, y₀) належить області визначення функції f (x, y). Тоді функція z = f(x, y) називається неперервною в точці М₀(х₀, y₀), якщо

(1)

причому точка М(х, у) прямує до точки М₀(х₀, y₀) довільним чином.

Якщо в будь-якій точці умова (1) не виконується, то ця точка називається точкою розриву функції f (x, y). Це може бути в наступних випадках:

1. Функція z = f(x, y) не визначена в точці М₀(х₀, y₀).

2. Не існує границя .

3. Ця границя існує, але він не дорівнює f (x₀, y₀).

Властивість. Якщо функція f(x, y, ...) визначена й неперервна в замкнутій і обмеженої області D, то в цій області знайдеться принаймні одна точка N(x₀, y₀, …), така, що для інших точок вірна нерівність

а також точка N₁(x₀₁, y₀₁, …), така, що для всіх інших точок вірна нерівність

тоді f (x₀, y₀, …) = M – найбільше значення функції, а f (x₀₁, y₀₁, …) = m – найменше значення функції f (x, y, …) в області D.

Неперервна функція в замкнутій і обмеженій області D досягає принаймні один раз найбільшого значення й один раз найменшого.

Властивість. Якщо функція f (x, y, ...) визначена й неперервна в замкнутій обмеженій області D, а M і m – відповідно найбільше й найменше значення функції в цій області, то для будь-якої точки   [m, M] існує точка N₀(x₀, y₀, …) така, що f (x₀, y₀, …) = .

Простіше кажучи, неперервна функція приймає в області D всі проміжні значення між M і m. Наслідком цієї властивості може служити висновок, що якщо числа M і m різних знаків, то в області D функція принаймні один раз звертається в нуль.

Властивість. Функція f(x, y, …), неперервна в замкнутій обмеженій області D, обмежена в цій області, якщо існує таке число K, що для всіх точок області вірна нерівність .

Властивість. Якщо функція f(x, y, …) визначена й неперервна в замкнутій обмеженій області D, то вона рівномірно неперервна в цій області, тобто для будь-якого позитивного числа  існує таке число  > 0, що для будь-яких двох точок (х₁, y₁) і (х₂, y₂) області, що перебувають на відстані, меншій , виконується нерівність

Наведені вище властивості аналогічні властивостям функцій однієї змінної, неперервним на відрізку. Див. Властивості функцій, неперервних на відрізку.