Розкриття невизначеностей. Правило Лопіталя.

(Лопіталь (1661–1704) – французький математик)

До розряду невизначеностей прийнято відносити наступні співвідношення:

Теорема (правило Лопіталя). Якщо функції f(x) і g(x) диференційовані поблизу точки а, неперервні в точці а, g(x) відмінна від нуля поблизу а й f(a) = g(a) = 0, то границя частки функцій при дорівнює границі частки їхніх похідних, якщо ця границя (скінченна або нескінченна) існує.

Доведення. Застосувавши формулу Коші, одержимо:

де  – точка, що перебуває між а й х. З огляду на що f(a) = g(a) = 0:

Нехай при ха відношення прямує до деякої границі. Оскільки точка  лежить між точками а й х, то при х  а одержимо   а, а отже й відношення прямує до того ж границі. Таким чином, можна записати:

.

Теорему доведено.

Приклад: Знайти границю .

Як видно, при спробі безпосереднього обчислення границі виходить невизначеність виду . Функції, що входять у чисельник і знаменник дробу задовольняють вимогам теореми Лопіталя.

f(x) = 2x + ; g(x) = e^x;

;

Приклад: Знайти границю .

; ;

.

Якщо при розв’язанні приклада після застосування правила Лопіталя спроба обчислити границю знову приводить до невизначеності, то правило Лопіталя може бути застосовано другий раз, третій і т.д. поки не буде отриманий результат. Природно, це можливо тільки в тому випадку, якщо знову отримані функції у свою чергу задовольняють вимогам теореми Лопіталя.

Приклад: Знайти границю .

; ;

; ;

; ;

Слід зазначити, що правило Лопіталя – всього лише один зі способів обчислення границь. Часто в конкретному прикладі поряд із правилом Лопіталя може бути використаний і якийсь інший метод (заміна змінних, домноження та ін.).

Приклад: Знайти границю .

; ;

– знову вийшла невизначеність. Застосуємо правило Лопіталя ще раз.

; ;

– застосовуємо правило Лопіталя ще раз.

; ;

;

Невизначеності вигляду можна розкрити за допомогою логарифмування. Такі невизначеності зустрічаються при знаходженні меж функцій вигляду , f(x)>0 поблизу точки а при ха. Для знаходження границі такої функції досить знайти границю функції ln y = g(x) ln f(x).

Приклад: Знайти границю .

Тут y = x^x, ln y = x ln x.

Тоді . Отже

Приклад: Знайти границю .

; – одержали невизначеність. Застосовуємо правило Лопіталя ще раз.

; ;

Похідні й диференціали вищих порядків.

Нехай функція f(x) – диференційована на деякому інтервалі. Тоді, диференціюючи її, одержуємо першу похідну

Якщо знайти похідну функції f(x), одержимо другу похідну функції f(x).

тобто y = (y) або .

Цей процес можна продовжити й далі, знаходячи похідні ступеня n.

.

Загальні правила знаходження вищих похідних.

Якщо функції u = f(x) і v = g(x) диференційовані, то

1. (Сu)⁽ⁿ⁾ = Cu⁽ⁿ⁾;

2. (u  v)⁽ⁿ⁾ = u⁽ⁿ⁾  v⁽ⁿ⁾;

3)

.

Цей вираз називається формулою Лейбніца.

Також за формулою dⁿy = f⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ може бути знайдений диференціал n-го порядку.

Дослідження функцій за допомогою похідної.

Зростання й спадання функцій.

Теорема. 1) Якщо функція f(x) має похідну на відрізку [a, b] і зростає на цьому відрізку, то її похідна на цьому відрізку ненегативна, тобто .

2) Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a, b] і диференційована на проміжку (а, b), причому f(x) > 0 для a < x < b, то ця функція зростає на відрізку [a, b].

Доведення.

1. Якщо функція f(x) зростає, то f(x + x) > f(x) при x >0 і f(x + x) < f(x) при x<0,

тоді:

2) Нехай f(x)>0 для будь-яких точок х₁ і х₂, що належать відрізку [a, b], причому x₁<x₂.

Тоді за теоремою Лагранжа: f(x₂) – f(x₁) = f()(x₂ – x₁), x₁ <  < x₂

За умовою f()>0, отже, f(x₂) – f(x₁) >0, тобто функція f(x) зростає.

Теорему доведено.

Аналогічно можна зробити висновок про те, що якщо функція f(x) спадає на відрізку [a, b], то на цьому відрізку. Якщо у проміжку (a, b), то f(x) спадає на відрізку [a, b].

Звичайно, дане твердження справедливо, якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a, b] і диференційована на інтервалі (a, b).

Доведену вище теорему можна проілюструвати геометрично:

y y

   

x x