Обчислення довжини дуги кривої.

Y y = f(x)

S_i y_i

x_i

a b x

Довжина ламаної лінії, що відповідає дузі, може бути знайдена як .

Тоді довжина дуги дорівнює .

З геометричних міркувань:

У той же час

Тоді можна показати (див. Інтегрована функція.), що

Тобто

Якщо рівняння кривої задане параметрично, то з урахуванням правил обчислення похідної параметрично заданої функції (див. Похідна функції, заданої параметрично.), одержуємо

,

де х = (t) і у = (t).

Якщо задано просторову криву, і х = (t), y =  (t) і z = Z(t), то

Якщо крива задана в полярних координатах, то

,  = f ().

Приклад: Знайти довжину кола, заданого рівнянням x² + y² = r².

1 спосіб. Виразимо з рівняння змінну y.

Знайдемо похідну

Тоді

Тоді S = 2r. Одержали загальновідому формулу довжини кола.

2 спосіб. Якщо представити задане рівняння в полярній системі координат, то одержимо: r²cos² + r²sin² = r², тобто функція  = f () = r, тоді