Умовний екстремум.

Умовний екстремум знаходиться, коли змінні x і y, що входять у функцію u = f (x, y), не є незалежними, тобто існує деяке співвідношення (х, у) = 0, що називається рівнянням зв'язку.

Тоді зі змінних х і y тільки одна буде незалежною, тому що інша може бути виражена через неї з рівняння зв'язку.

Тоді u = f (x, y(x)).

У точках екстремуму:

(1)

Крім того:

(2)

Помножимо рівність (2) на число  і складемо з рівністю (1).

Для виконання цієї умови у всіх точках знайдемо невизначений коефіцієнт  так, щоб виконувалася система трьох рівнянь:

Отримана система рівнянь є необхідними умовами умовного екстремуму. Однак ця умова не є достатньою. Тому при знаходженні критичних точок потрібно їхнє додаткове дослідження на екстремум.

Вираз u = f (x, y) + (x, y) називається функцією Лагранжа.

Приклад. Знайти екстремум функції f (x, y) = xy, якщо рівняння зв'язку:

2x + 3y – 5 = 0

Таким чином, функція має екстремум у точці .

Використання функції Лагранжа для знаходження точок екстремуму функції називається також методом множників Лагранжа.

Вище ми розглянули функцію двох змінних, однак, всі міркування щодо умовного екстремуму можуть бути поширені на функції більшого числа змінних.