1. Цели и задачи курса геометрии основной школы

Прежде чем говорить о школьном курсе геометрии, остановимся крат­ко на характеристике геометрии как науки и основных этапах её развития. В различных энциклопедиях понятие «геометрия» (греч. geometria, от ge - Зем­ля и metreo - мерю) трактуется как «раздел математики, изучающий про­странственные отношения и формы, а также другие отношения и формы, сходные с пространственными по своей структуре» (см., например, «Матема­тическую энциклопедию», с. 940-941).

Историческая справка

Возникновение геометрии относится к глубокой древности и обусловлено практи­ческими потребностями измерения земельных участков, объемов и др. Отсюда и грече­ское название «геометрия», что означает «землемерие».

В развитии геометрии выделяют четыре основных периода.

Первый период, зарождения геометрии как математической науки - протекал в Древнем Египте, Вавилоне и Греции примерно до V в. до н. э. Геометрические сведения того периода были немногочисленны и сводились, прежде всего, к вычислению некото­рых площадей и объемов. Геометрия, по свидетельству греческих историков, была пере­несена в Грецию из Египта в VII в. до н. э. Здесь на протяжении нескольких поколений она складывалась в стройную систему. Процесс этот происходил путем накопления новых геометрических знаний, выяснения связей между разными геометрическими фактами, вы­работки приёмов доказательств и формирования понятий о фигуре, геометрическом пред­ложении и о доказательстве.

Этот процесс привёл к качественному скачку. Строгое построение геометрии как системы предложений (теорем), последовательно выводимых из немногочисленных опре­делений, основных понятий и истин, принимаемых без доказательства (аксиом) было дано в Древней Греции Евклидом в его труде «Начала» (около П1 в. до н. э.).

Итак, к III в, до н. э. геометрия Превратилась в самостоятельную математическую науку: появились систематические изложения геометрии, где её предложения последова­тельно доказывались. С этого времени начинается второй период развития геометрии. Здесь геометрия представлена так, как её в основном понимают и теперь, если ограни­читься элементарной геометрией: это наука о простейших пространственных формах и отношениях, развиваемая в логической последовательности, исходя из явно формулиро-

ванных основных положений - аксиом и основных пространственных представлений. Ещё в Греции к ней добавляются новые результаты, возникают новые методы определения площадей и объемов, учение о конических сечениях, присоединяются начатки тригоно­метрии и геометрии на сфере.

Начало новой эры было временем упадка греческой цивилизации, а вместе с ней и геометрии. Возрождение наук и искусств в Европе в XVII в. стимулировало развитие гео­метрии: теоретической основой построения изображений явилась проективная геометрия (Ж. Дезарг, Б. Паскаль). Она возникла из задач изображения тел на плоскости. Учение о геометрическом изображении было развито и проведено Г. Монжем (Франция) в виде на­чертательной геометрии.

Новый шаг был сделан в первой половине XVII в, (1637 г.) Р, Декартом, который ввёл в геометрию метод координат. Метод координат позволил связать геометрию с раз- вивавшейся тогда алгеброй и зарождающимся анализом. Применение методов этих наук в геометрии породило аналитическую геометрию, а потом и дифференциальную. Геометрия перешла на качественно новую ступень по сравнению с геометрией древних: в ней рас­сматриваются уже гораздо более общие фигуры и используются существенно новые мето­ды. С этого времени начинается третий период развития геометрии. Аналитическая гео­метрия изучает фигуры и преобразования, задаваемые алгебраическими уравнениями в прямоугольных координатах, используя при этом методы алгебры.

Дифференциальная геометрия, возникшая в XVIII в, в результате работ JI. Эйлера, геометрия Г. Монжа и др. исследуют уже любые достаточно гладкие кривые линии и по­верхности, их семейства и преобразования.

Во всех этих дисциплинах основы геометрии оставались неизменными, круг же изучаемых фигур и их свойств, а также применяемых методов расширялся.

Четвертый период в развитии геометрии открывается построением в 1826 г. Н. И. Лобачевским неевклидовой геометрии, отличающейся от евклидовой аксиомой (постула­том) о параллельных прямых и называемой теперь геометрией Лобачевского.

В середине XIX в. были рассмотрены многомерные пространства (К. Якоби,

Г. Грассман). Принципиальный шаг был сделан немецким математиком Б. Риманом. Развилась обширная область геометрии, так называемая риманова геометрия и её обобщения, нашедшая важные приложения в теории относительности, в механике и др. В тот же период зародилась топология как учение о тех свойствах фигур, которые зависят лишь от взаимного проникновения их частей и которые сохраняются при лю­бых преобразованиях.

Таким образом, предмет геометрии изменялся в процессе исторического развития, а вместе с ним изменялось и содержание геометрического метода. Постепенно геометрия превра­тилась в разветвлённую и быстро развивающуюся в разных направлениях совокупность мате­матических теорий, изучающих разные пространства и фигуры в этих пространствах.

Выделяя существенные свойства геометрического метода, А. Д. Александров пи­сал: «Для геометрии характерен такой подход к объекту, который состоит в обобщении и перенесении на новые объекты обычных геометрических понятий и наглядных представ­лений» [1, с. 309]. И далее: «... геометрия характеризуется не только своим предметом, но и методом, идущим от наглядных представлений и оказывающимся плодотворным в ре­шении многих проблем других областей математики» [там же, с. 313].

Особенности геометрии как науки и задачи школьного курса геометрии академик А. Д. Александров сформулировал в своей статье «О геометрии» (см. «Математика в школе», 1980, № 3). Он писал: «Особенность геометрии, выделяющая её не только среди остальных частей математики, но и среди других наук вообще, состоит в том, что в ней самая строгая логика соединена с наглядным представлением. Геометрия в своей сущности и есть такое со­

единение живого воображения и строгой логики, в котором они взаимно ор- ганизуют и направляют друг друга».

Продолжая эту мысль, он отмечал, что живое воображение ближе к ис- кусству, сухая строгая логика - привилегия науки - это две совершенные противоположности. Однако геометрия их все же соединяет, и задачи препо- давания - соединить их в одном учебном предмете. Это есть единство проти- воположностей, противоречие в самой сущности предмета. Это противоречие составляет особую трудность, а вместе с этим и особую прелесть геометрии.

В курсе геометрии соединяются еще две противоположности: абст- рактная математическая геометрия и реальная геометрия ~ реальные про- странственные отношения и свойства тел. Это противоречие выступает уже в тот момент, когда на доске «проводят прямую» и говорят: «Проведем пря- мую через точки А и В », - но на доске нет точек и невозможно провести пря- мую: геометрические точки и прямые - это идеальные объекты, они не суще- ствуют иначе как в абстрактном мышлении, их, строго говоря, нельзя даже представить, а можно только мыслить.

Утверждения геометрии высказываются и доказываются для идеальных геометрических объектов, но воспринимаются как утверждения об объектах, наглядно представимых, и применяются к реальным вещам.

При всей своей абстрактности геометрия возникла из практики и приме- няется в практике. Поэтому преподавание геометрии обязательно должно свя- зывать её с реальными вещами, с другими дисциплинами, особенно с физикой.

При этом связь геометрии с реальностью заключает противоречие - не- соответствие реальных вещей геометрическим абстракциям.

Таким образом, преподавание геометрии должно включать три тесно связанных, но вместе с тем и противоположных элемента: логику, наглядное представление, применение к реальным вещам (рис. 51).

Задача преподавания геометрии - развить у учащихся соответствую- щие три качества: пространственное воображение, практическое понимание и логическое мышление.

При этом решаются следующие задачи: Логика

1. приобретение систематических сведений об основных фигурах на плоскости и их важней- ших свойствах;

2. формирование представления о равенстве и подобии фигур, основных типах геометрических

преобразований и их применении в геометрии; Воображение Реальность

3. формирование навыков геометрических

построений, измерение и вычисление длин, углов Рис. 51

и площадей;

4. ознакомление с применением аналитического аппарата для решения геометрических задач (алгебраическими преобразованиями и уравнениями, элементами тригонометрии, аналитической геометрии и векторной алгебры).

В программе по математике перечислены умения, которые должны быть результатом решения этих задач: