Б. Интеграция аналитического и графического методов в изучении квадратичной функции
Квадратичная функция вводится и изучается в тесной связи с квадратными уравнениями и неравенствами, которые представлены в курсе алгебры 8 класса. Первой из этого класса функций рассматривается функция у = х2. Свойства этой функции во многом отличаются от рассмотренного случая линейных функций.
Прежде всего, эта функция немонотонна; только на этом этапе у учащихся появляется пример функции, отличной от линейных, которые немонотонны на всей области определения. Чтобы подчеркнуть указанное отличие, можно предложить учащимся следующее задание: функция задана формулой
у - х2 на промежутке -2 < х < 3. Найти множество значений этой функции. Перенося свойство монотонности с класса линейных функций на функцию у = х2, учащиеся часто делают ошибку, приводя ответ: промежуток 4 < х < 9. Эта ошибка требует рассмотрения графика функции у - х2.
Другое отличие состоит в том, что характер изменения значений функции у = х2 неравномерный: на одних участках она растет быстрее, на других - медленнее. Эта особенность выявляется при построении графика, причем целесообразно рассмотреть два графика: один - в крупном масштабе на промежутке - 1 < х < 1, другой - в мелком масштабе на промежутке
- 3 < х < 3. Построение можно вести методом загущения. Важно отметить свойство параболы - симметричность относительно оси ординат; в дальнейшем это свойство приведет к рассмотрению класса четных функций, причем функция у = х2 является ведущим примером функции этого класса.
Рассмотрим более подробно схему изучения квадратичной функции.
этап. Изучение данного материала следует начать с рассмотрения конкретных ситуаций или задач, приводящих к квадратичной функции.
Вначале необходимо заметить, что в различных областях науки и техники часто встречаются функции, которые называют квадратичными. Приведем примеры.
Площадь квадрата у со стороной х вычисляется по формуле у = х2.
Если тело брошено вверх со скоростью 3, то расстояние s от него до поверхности земли в момент времени t определяется формулой
сг(^
S = - —— f &t + £q ,
где s0 - расстояние от тела до поверхности земли в момент времени t = 0.
В этих примерах рассмотрены функции вида у = ах2 + Ьх + с. В первом примере а~ 19Ь = с = 0, а переменными являются х и у. Во втором примере а = - у,
Ъ = 3, с = sо, а переменные обозначены буквами t и
этап. На этом этапе формулируется определение квадратичной функции и дается её запись в виде формулы.
142
Определение. Функция у = ах + Ъх + с , где а, Ь и с заданные действительные числа, а * 0, х - действительная переменная,, называется квадратичной функцией. Затем приводятся примеры квадратичных функций (учителем и уча щимися) у у = -2х , у = х -х, у = х 2 1 • 5х + 6, у = -Зх + - х и т.д. Для
усвоения определения учащиеся выполняют упражнения на распознавание.
этап. Ознакомление учащихся с графиком квадратичной функции на- чинается с графика функции у = х2. Для построения графика этой функции со- ставляется таблица её значений. Построив указанные в таблице точки и соеди- нив их плавной кривой, учащиеся получают график функции у = х2.
этап. На этом этапе учащиеся исследуют свойства функции у = х2. Ис- пользуя график, они выясняют следующее.
Значение функции у - х2 положительно при х ф 0, и равно нулю при х = 0. Следовательно, парабола у = х2 проходит через начало координат, а ос- тальные точки параболы лежат выше оси абсцисс. Говорят, что парабола у = х2 касается оси абсцисс в точке (0; 0).
График функции у = х2 симметричен относительно оси ординат, так как (-х)2 = х2. Например, у(-3) = у(3) = 9. Таким образом, ось ординат является осью cwvmempuu параболы. Точку пересечения параболы с её осью симметрии называют вершиной параболы. Для параболы у = х2 вершиной является начало координат.
При х > 0 большему значению х соответствует большее значение у. На- пример, у (3) > у (2). Говорят, что функция у = х2 является возрастающей на промежутке х > 0.
При х < 0 большему значению х соответствует меньшее значение у. Напри- мер, у (-2) <у (-4). Г оворят, что функция у = х2 является убывающей на промежутке х < 0 (все рассуждения сопровождаются рассмотрением графика функции).
Следует заметить учащимся, что парабола обладает многими интересными свойствами, которые широко ис- пользуются в технике. Например, на оси симметрии пара- болы есть точка, которую называют фокусом параболы (рис, 44). Если в этой точке находится источник света, то все отраженные от параболы лучи идут параллельно. Это свойство используется при изготовлении прожекторов, локаторов и других приборов.
Рис. 44
2 1 Фокусом параболыу = х является точкаF(0; -).
Изучение класса квадратичных функций может проходить в двух вариантах (они достаточно подробно рассмотрены в работе Е.С. Канина «Начала в изучении функций», М.. 2005. Изучите их самостоятельно по приведенному тексту.)
Вариант!
Порядок рассмотрения квадратичной функции и графиков следующий:
1)у = х2; 2) у = ах2; 3 )y-ax2+k;
143
4) У ~ ct(x - т)2; 5) у ~ а(х - т)2 + к Остановимся на этой схеме подробнее. 1. Функция у = ах2, При изучении этой функции требуется установить роль коэффициента а: при а > О функция имеет минимум, при а < О - максимум в начале координат. При | а | < 1 происходит растяжение параболы от оси ординат (парабола становится более «пологой»), при | а \ > 1 - сжатие к оси ординат (парабола становится «круче»). Все это должно иллюстрироваться конкретными примерами и графиками. Свойства функции у- ах2. Если х - О, то у = 0. Еслих = ±1, то у = а. Если х * 0 и а > 0, то у > 0, если а < 0, то у < 0. Противоположным значениям аргумента соответствуют одинаковые значения функции: ах = а{-х) при любых х. При а > 0 функция возрастает, если х >0, и убывает, если х < 0; при а < 0 - возрастает, если х < 0 и убывает, если х > 0. Если | а | < 1, то график функции у = ах2 «сжимается» к оси абсцисс (по сравнению с графиком у = х2); если | а | > 1, то графику = ах2 «сжимается» к оси ординат. Заметим, что свойства 2,3,5 и 6 функции у = ах2 зависят от коэффициента а. 2. Функция у = ах + к. Геометрически к означает здесь ординату точки параболы с абсциссой 0, то есть график функции сдвигается (переносится) вдоль оси ординат на к вверх, если к > 0, и на | к | вниз, если к < 0. Свойства четности функции (симметрии графика относительно оси ординат), промежутки её монотонности (в зависимости от знака а) рассматриваются аналогично функции у = ах2. Добавляются и новые свойства квадратичной функции: функция у = ах2 имела нуль при х = 0, функция же у = ах2 + к может (при к ф 0) иметь два нуля или не иметь ни одного. Это надо показать как аналитически, так и графически: нули функции имеют вид (при условии, что к и а противоположных знаков). На графике это выглядит так (рис. 45): Рис. 45 144
Как видим, если ки а имеют противоположные знаки, то график функции у = ах2 + к пересекает ось абсцисс, то есть функция имеет два нуля, если же к и а одинаковых знаков, то график функции не пересекает ось абсцисс, то есть функция не имеет нулей. Наряду с вопросом о нулях функции возникает и вопрос о промежутках знакопостоянства, который следует рассмотреть подробно, так как он часто используется при решении квадратных неравенств. В случаях, когда а и к одного знака, один и тот же знак имеют и все значения функции. Если а и к отрицательны, то отрицательны и значения функции у = ах2 + к Это следствие того, что функция не имеет нулей. Если же функция имеет два нуля, то имеются промежутки области определения, на которых функция принимает только положительные или только отрицательные значения. На такие промежутки область определения разбивается нулями функции. Если обозначить нули функции Х\ и х2, то при а> О и & < О на промежутках (- °о; х1) и (х2; + со j функция принимает положительные значения, на промежутке (хь х2) - отрицательные. При а < О, к > 0 функция положительна на промежутке между своими нулями и отрицательна на промежутках (- оо; Xj) и(х2; +ooj. Все это хорошо видно на рисунке 45. Все сказанное широко используется при решении квадратных неравенств. И еще одно свойство. В точке х = 0 функция имеет экстремум равный к: если а > 0 к- минимум, если а < 0, то к- максимум функции у = ах2 + к (рис. 45). Зс Функция у = а(х - т)2. Геометрически т означает здесь абсциссу точки параболы с ординатой, равной 0. Значит, х ~ т является нулем функции у = а(х - т)2. Иными словами, график функции у- ах переносится вдоль оси абсцисс на т. Сам этот факт усваивается учениками достаточно трудно, поэтому необходимо привести конкретные примеры, рассмотреть параллельный перенос графика как вправо (при т > 0), так и влево (т < 0) вдоль оси абсцисс. Как и функция у = ох2, функция у = а(х - т)2 при а > О возрастает, но уже при х>т, и убывает при х < т. При а < 0, наоборот: при х > т убывает, а при х < т - возрастает. Кроме того функция, если х ф т9 при а > 0 положительна, а при а < 0 отрицательна. Функция у = а(х - т)2 + к. Построение графика этой функции осуществляется последовательным выполнением параллельного переноса графика функции у = ах2 вдоль оси абсцисс на т и вдоль оси ординат на к. Если в формуле, задающей функцию, раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, то функция примет вид у = ах2 + Ьх + с, где Ъ ~ -2ат, с - am2 + к, т = -—> к = ———. 2 а 4 а Таким образом, функция у = ах2 + Ьх + с имеет вид 145
t , Ъ ч2 , 4ac-b2 у = ф+—) + —- 7. 2д 4а Эта же форма получается путем выделения из трехчлена Итак, для построения графика функции у = 2 а 4 а ординат. Гораздо проще в этом случае Вариант 2 Рассмотрение квадратичной функции и графиков проходит в следующем порядке: 1 )у = х2; 2) у = ах2; 3)у = а(х~т)2; 4)у = а(х - т)2 + к; 5) у = ах2 + Ьх + с. Число шагов от начала изучения квадратичной функции в этом варианте меньше на один, но он имеет и недостатки. В частности здесь фактически выпадает изучение параллельного переноса графика функции D> О а > 0, с > О а > 0, с < О D> О Рис. 46 ах2 + Ьх + с полного квадрата.ах2 + Ьх + с достаточно перенести график функций у — ах2 на вдоль оси абсцисс и на 4ас ~Ъ вдоль осиперенести не график функции, а систему координат, построив сначала график функции у = ах2.у = ах вдоль оси ординат, поэтому сразу приходится переходить к более сложному переносу того же графика вдоль оси абсцисс. В школах и классах с углубленным изучением математики возможен сразу переход от функции у = ах2 к функции у = ах2+ Ьх +с, с
выделением полного квадрата и построением графика функции путем применения двух параллельных переносов. Следует отметить, что целью изучения квадратичной функции является не только построение графика, но и оценка поведения функции у = Нули квадратичной функции связаны со знаком дискриминанта нулем); если Все сказанное полезно изобразить геометрически: график функции Рис. 47 При 147ах + Ьх + с, выявление роли коэффициентов а, b, с. Роль коэффициента а уже рассмотрена нами. Геометрический смысл коэффициента с - это ордината точки пересечения графика функции с осью Оу.D - Ь2 - 4ас: если D = 0, то функция имеет один нуль, равный абсциссе вершины параболы х = - (его в алгебре называют двойным или двукратнымD > 0, то функция имеет два различных нуля, они находятся по формулам корней квадратного уравнения; если D < 0, то функция действительных нулей не имеет.у = ах2 + Ьх + с может иметь с осями координат три общих точки, когда D > О (два нуля и точка (0; с) (рис. 46); две общих точки, если D = 0; одну общую с осью ординат точку, если D < 0 (рис. 47). При этом: если а > 0, то функция имеет минимум, если а < 0 - максимум.D > 0 коэффициенты а и с могут иметь как различные, так и совпадающие знаки, а при D < 0 а и с обязательно одного знака.
Ордината вершины параболы совпадает со значением максимума (мини- s. 4 ас-Ъ2 мума): у = . 4 а Промежутки знакопостоянства записываются так же, как и для функции у = ах2 + &, но зависят они от знака дискриминанта и коэффициента а: при D > О, а > О положительные значения функция принимает на двух интервалах (-оо; х\) и (х2; +<*>), отрицательные значения - на интервале (хь х2). Со сменой знака коэффициента а на интервалах слева и справа от нулей квадратичная функция отрицательна, а на интервале между нулями функции - положительна. Все сказанное можно иллюстрировать графически (рис. 46,47). Полезно, как и в случае функции у = ах2, показать, как от коэффициента а зависит положение графика функции у = ах2 + Ьх + с: при | а | < 1 график «растягивается» вдоль оси Ох; при | а | > 1 - «сжимается» вдоль оси Ох (или «сжимается» к оси Оу). Так будет раскрыт геометрический смысл коэффициентов квадратичной функции. Большую роль в изучении этой темы играют упражнения. Кроме стандартных упражнений, которые представлены в учебниках, здесь полезны задания, предполагающие интеграцию аналитического и графического методов, направленные на глубокое усвоение геометрического смысла коэффициентов в формуле, задающей квадратичную функцию, на понимание и сопоставление свойств функций и их графического изображения и наоборот; на формирование у учащихся хорошей привычки анализировать условия, заданные как аналитически, так и графически. Приведем некоторые примеры таких упражнений. Может ли парабола на рисунке 48 быть графиком функции: а)у = ах2-ах + Ь\ б)у = ах + ЪхЛ а\ в)у = ax' - х + а? На рисунке 49 изображен график функции у = х графики функций: а) у = х2 + рх - q; б) у = х2 - рх + q\ в) у = -х2 +рх + q. Могут ли параболы (рис. 50) быть графиками функций: ~ рх + q. Изобразите а )Дх) = ах + Ьх + с\ и б)Дх) = ах2 + Ь\ х + с и в)Дх) = ab х2 + х + 1 и g(x) = Ьх + ах + с2; g(x) = сх2 + Ь2 х + а; g(x) - ах2 + х + Ы Рис. 49 148
Рис. 50 Следующие упражнения направлены на выяснение положения графика квадратичной функции относительно оси абсцисс. При каких условиях данные параболы касаются оси абсцисс: я)Ах)=х2 + ях + 4; б) у =(а- 1)х2 + (а + 4)х + а + 7; в) g(x) = (ах + Ъ) 2 + {а\ х + Ъ\)21 При каких действительных значениях а данные параболы расположены: а) выше оси абсцисс: 1 )у = х2 + 2(3а - 1)х + 2а + 1; 2)у = х2 - 2(а+ 1)х + а; б) ниже оси абсцисс: 1 )у = ах2 - 2х + а- 1; 2)у = (а- 1)х2 + ах~ 1. Вопросы и задания Подготовьте сообщение об истории возникновения понятия функции и причинах его эволюции. Кто впервые ввел термин «функция»? Почему понятие функции было введено в школьный курс математики? Какие ученые в России и за рубежом выступали за его введение? Как А. Я. Хинчин обосновывал введение понятия функциональной зависимости в школьный курс математики? Какие исторически сложившиеся определения понятия функции существовали в конце XIX - начале XX века? Какие варианты определения понятия функции существуют в настоящее время в математике - науке? Какие методические трактовки понятия функции использовались в школьном курсе математики? Назовите достоинства и недостатки каждой из них. Опишите методику введения понятия функции. Какие виды упражнений необходимы для формирования этого понятия? По какой схеме происходит изучение функций в курсе алгебры основной школы? Проиллюстрируйте сказанное на конкретном примере. Как вводится понятие графика функции? Приведите пример. Каков алгоритм построения графика функции? Какие упражнения необходимы для формирования умения «читать» график функции? Приведите примеры. 149
Опишите методику введения понятия линейной функции и её графика. Какие частные случаи линейной функции изучаются в курсе алгебры 7 класса? Что геометрически означают коэффициенты Ъ и к в формуле у = /Ьс + 6? Какие умения формируются у учащихся при изучении линейной функции? Составьте упражнения на усвоение учащимися взаимного расположения графиков линейных функций. В чем отличие свойств квадратичной функции от свойств линейной функции? Охарактеризуйте этапы изучения квадратичной функции. Проанализируйте действующие учебники алгебры для 8 класса. В каком порядке проходит изучение класса квадратичных функций в каждом из них? Как реализуется интеграция алгебраического и графического методов при изучении квадратичной функции? Приведите соответствующие примеры. Разработайте методику введения одной из следующих функций (на выбор): 1) степенной; 2) показательной; 3) логарифмической; 4) тригонометрических; 5) обратных тригонометрических. Составьте общую схему изучения этих функций. Рекомендуемая литература В и л е н к и н, Н. Я. Функции в природе и технике / Н. Я. Виленкин. - М.: Просвещение, 1985. В о л ь х и н а, И. Н. Дифференцированные задания по темам «Функции» и «Рациональные дроби» / И. Н. Вольхина // Математика в школе. -1999. - № 1. - С. 9 -13. Дворянинов, С. В.5 Розо в, Н. X, некоторые замечания об изучении функции в школе / С. В, Дворянинов, Н. X. Розов // Математика в школе. -1994. - № 5. - С. 27 - 30. К а н и н, Е. Начала в изучении функций / Е. Канин. - М.: чистые пруды. 2005. - 32 с. К л е й н, Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. 1. - M.-JL, 1933. К о л я г и н, Ю. М. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов / Ю.М. Колягин, F.JI. Луканкин, E.JI. Мокрушин и др.. - М.: Просвещение, 1977. М а р н я н с к и й, И. А. Ещё раз об определении функции / И. А, Марнянский // Математика в школе. -1991. -№4. - С. 71 -72. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. спец. /А.Я. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев и др.; Сост. В.И. Мишин. - М.: Просвещение, 1987. С а р а н ц е в, Г. И. Упражнения в обучении математике / Г. И. Саранцев. - 2-е изд., дораб. - М.: просвещение, 2005. -255 с. Теляковский, С. А. О понятии функции в школьном курсе математики / С. А. Теля- ковский // Математика в школе. -1989. - № 4. - С. 90 - 91. И. X и н ч и н, А. Я. Основные понятия математики и математические определения в средней школе / А. Я. Хинчин. - Учпедгиз, 1940. X и н ч и н, А. Я. Педагогические статьи./ А. Я. Хинчин. Под ред. Б. В. Гнеденко. - М.. 1963. - 204 с. Ц у к а р ь, А. Я. Изучение функций в VII классе с помощью средств образного характера / А. Я. Цукарь // Математика в школе. - 2000. - № 4. - С. 20 - 27. Школьные учебники алгебры для 7-9 классов. http ://wM.km-school.ru/wiki/index.plip/ 150
- Цели, содержание и структура курса математики 5-6 классов
- Значение и место учения о числе в курсе математики общеобразовательной школы
- 5 Класс
- 6 Класс
- 3. Различные пути расширения понятия числа
- 4. Методика изучения натуральных чисел
- 4. Методика изучения натуральных чисел
- 5. Основные вопросы методики изучения дробей
- 5. Основные вопросы методики изучения дробей
- 6. Методика изучения положительных и отрицательных чисел
- I. Основные типы преобразований и этапы их изучения
- III этап. Организация целостной системы преобразований (синтез).
- Буквенной части слагаемых пока остается первой.
- 1. Содержание и роль линии уравнений и неравенств в современном школьном курсе математики
- 2. Основные понятия линии уравнений и неравенств
- I * hi лаже он и возникает по ходу обсуждения процесса решения, то ответ на не-
- Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
- * Последовательность изучения линии уравнений и неравенств
- I )гапы изучения линии уравнений, неравенств и их систем в основной школе
- 1* Курсе математики 5 класса понятие уравнения трактуется аналогично.
- Основные классы неравенств изучаются сразу вслед за изучением со- »»I мотствующих классов уравнений.
- I Ъшить уравнение - это значит найти все его корни или установить, что их нет.
- Решение квадратных уравнений и неравенств
- Il Графический метод (I способ)
- Графический метод
- Системы уравнений с двумя переменными, в которых одно или оба уравнения второй степени
- Графический метод
- Графический метод
- Графический метод
- Графический метод
- Графический метод
- Графический метод
- Il Графический метод
- Il Графический метод
- Графический метод
- Графический метод
- Графический метод
- Графический метод
- 1. Цели обучения решению текстовых задач
- 2. Пропедевтика алгебраического и геометрического методов решения текстовых задач
- 3. Этапы решения задач на составление уравнений и их реализация
- Этап {перевод задачи на геометрический язык).
- Этап (решение задачи на геометрическом языке).
- 1. Из истории введения понятия функциональной зависимости в школьный курс математики
- 2. Различные трактовки понятия функции
- 3. Методика введения понятия функции
- Этап. Мотивация введетя понятия.
- Исследовать функцию на основные свойства.
- Использовать изученные свойства функций при решении различных задач, в частности уравнений и неравенств.
- Влияние коэффициентов hub на поведение функции
- Взаимное расположение графиков линейных функции
- Б. Интеграция аналитического и графического методов в изучении квадратичной функции
- 1. Цели и задачи курса геометрии основной школы
- 2. Содержание обучения геометрии в 7-9 классах
- 3. Логические основы изложения геометрии в 7-9 классах
- Аксиомы принадлежности
- Аксиомы порядка
- Аксиомы измерения отрезков и углов
- Рекомендуемая литература
- 1. Методика изучения основных свойств простейших геометрических фигур
- 1. Учебник а. В. Погорелова: § 1 «Основные свойства простейших геометрических фигур»,
- Определения «через ближайший род и видовые отличия»
- Измерение отрезков и углов
- 3. Учебник а. Д. Александрова и др,: глава I «Начала геометрииж
- 2. Методика формирования геометрических понятий
- 3, Обучение решению задач на первых уроках геометрии
- II группа
- 1. Различные подходы к формированию понятия равенства фигур
- Что нужно знать, чтобы утверждать равенство треугольников abc и dek1
- На рисунке 55 изображено два равных треуголь- ника. Написать равенство этих треугольников, обозначив их вершины.
- Если разносторонние треугольники abc и dkm
- 11Ри иодом пример.
- I (сн тральное место в изучении равных треугольников занимают признаём риионота треугольников.
- Доказательство:
- Доказательство:
- Треугольники вас и cdb равны. Напишите все соотношения, из ко- торых следует равенство указанных треугольников.
- Напишите соотношение между элемен- тами треугольников abc и adc, из которых следовало бы их равенство.
- Какие методические подходы существуют к введению понятия ранено гва фигур в школьном курсе геометрии? Какой подход, на Ваш взгляд, милмется наиболее удачным?
- В чем особенности введения понятия равных треугольников в разных учебниках геометрии?
- Приведите примеры упражнений на усвоение понятия равных треугольников.
- I. Цели и этапы изучения взаимного расположения прямых на плоскости
- 1 Различные подходы к введению понятия параллельности прямых на плоскости.
- I. Методика изучения признаков параллельности прямых.
- 1, Цели и этапы изучения взаимного расположения прямых на плоскости
- 2. Различные подходы к введению понятия параллельности прямых на плоскости
- 4. Методические замечания к изучению перпендикулярности прямых на плоскости
- В данной плоскости через точку вне данной прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной.
- Сумма внутренних углов треугольника равна 2d.
- 1. Различные подходы к изучению многоугольников
- 2. Методика изучения четырехугольников
- Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны,
- Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечении делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм.
- Какие из систем неравенств задают на плоскости трапецию и почему? Покажите штриховкой множество точек плоскости, заданное системой неравенств:
- 1 H найти площадь трапеции.
- 1, Имеет1 ли ось симметрии фигура, заданная системой неравенств:
- Верно ли утверждение: а) любой правильный многоугольник является выпуклым; б) любой выпуклый многоугольник является правильным?
- Чему равны градусные меры углов: а) правильного пятиугольника; б) правильного двенадцатиугольника; в) правильного тридцатишестиугольника?
- Множество направленных отрезков плоскости.
- Множество классов направленных отрезков плоскости.
- Множество параллельных переносов плоскости.
- Начертите равнобочную трапецию: а) существуют ли векторы, определяемые её вершинами и равные по длине? б) Сколько пар сонаправленных векторов задают вершины трапеции?
- Сколько пар сонаправленных (противоположно направленных) векторов определяют вершины параллелограмма?
- Начертить параллелограмм, обозна- чить его вершины и написать все равные ме- жду собой векторы, началом и концом кото- рых являются вершины параллелограмма.
- Векторы а и ъ равны, что следует из этого?
- 3. Методика изучения действий с векторами
- II. Умножение вектора на число
- Учебник геометрии а. В. Погорелова.
- Учебник геометрии j1. С. Атанасяна и Др.
- Построить вектор, представляющий сумму
- 4. Методика обучения решению задач с помощью векторов
- 1. Дан многоугольник abcde. Представьте ad в виде суммы: а) двух; б) I рёх; в) четырех векторов, заданных вершинами этого многоугольника.
- Представьте вектор ав в виде суммы векторов ас, dc , bd .
- Вектор cDколлинеарен вектору ав и Выразите один век-
- Четырехугольник abcd - квадрат. Упростите выражение { ав - 3 вс)2,
- VI. Упражнения на нахождение длины вектора и величины угла между векторами.
- Какие действия с векторами изучаются в школьном курсе геометрии?
- Б) в треугольнике лвс известны длины всех сторон. Определить его углы.
- II кн. До н. Э.) уже фактически пользовался прямоугольными координатами.
- Простейшие задачи в координатах на плоскости
- Уравнения фигур на плоскости
- 4. Особенности применения метода координат
- 5. Методика формирования координатного метода решения задач
- Решение (координатный метод)
- Iэтап(оптимальный выбор прямоугольной системы координат). Выберем прямоугольную систему координат так, как показано на рис. 93.
- Этап (перевод задачи на координатный
- Так как м середина стороны вс, то л/
- Этап (решение задачи на координат- ном языке).
- Рекомендуемая литература
- Значение тригонометрических функций в школьном курсе математики и различные подходы к их изложению
- I ермипы «косинус», «котангенс» и др. Появились в XI—XVII вв.
- Этапы изучения линии уравнений, неравенств и их систем в
- Системы уравнений с двумя переменными, в которых
- Цели и этапы изучения взаимного расположения прямых на
- Различные подходы к введению понятии параллельности пря