Графический метод
Построим в одной системе координат графики уравнений системы. Для этого выразим из первого уравнения системы у через х: у = 5 - х2, а из второ- го уравнения - х через у: х - 3 -у2.
Графиком первого уравнения у = 5 -х2 является парабола с вершиной в
точке (0; 5), пересекающая ось ОХ в точках (-/?; 0), (-/5; 0). Осью сим- метрии параболы является ось OY, ветви параболы направлены вниз.
Графиком второго уравнения является парабола с вершиной в точке (3; 0), осью симметрии у = 0 и пере- секающая ось OY в точках (0; л/з ) и (0; -л/з) (то есть горизонтально распо- ложенная парабола) (рис. 13).
Как видим из рисунка, параболы пересекаются в четырех точках, зна- чит, система уравнений имеет четыре решения. Из рисунка находим при-
ближенные координаты точек пересечения, абсциссы: Х\ = 2, х2 « 2,3, х3 «-1,7, л:4 ^ - 2,8 и ординаты:^ = 1,у2 « - 0,6,у3 » 2,2,у4 »- 2,4.
О т в е т: (2; 1), (2,3; -0,6), (-1,7; 2,2), (-2,8; -2,4).
Аналогично двумя методами можно решить следующие системы уравнений:
83
В некоторых случаях, прежде чем использовать графический метод, следует преобразовать систему, довести её до графической кондиции. Например, решить систему уравнений сходу, путем построения графиков уравнений не удастся. Способом подстановки её решать также неудобно, так как нельзя получить рационального выражения одной переменной через другую. Поэтому сначала преобразуем данную систему. Умножив второе уравнение на -1 и сложив почленно с первым уравнением, получим: равносильна первоначальной, состоит из одного уравнения второй степени и одного уравнения первой степени. Эта система легко решается способом подстановки и графическим методом. Таким образом, постоянное сопоставление алгебраического и графического методов решения систем уравнений, одно из которых или оба второй степени, приучает учащихся за аналитической записью системы видеть её геометрический образ, а значит, и количество решений. В то же время они убеждаются, что иногда данную систему трудно решить аналитически, но можно легко решить графически или наоборот, графический метод недоступен, но систему можно решить алгебраическим методом, то есть при решении подобных систем знание одного метода решения (алгебраического или графического) недостаточно, обязательно необходимы знания и умения по использованию другого метода. Одновременное обучение двум методам позволит учитывать и индивидуальные особенности учащихся, связанные с разными типами ума (аналитическим и геометрическим), о которых говорили такие ученые-математики, как А. Пуанкаре, Ж. Адамар, а также известный отечественный психолог В.А. Крутецкий. [х2 + у2 — 36, \у-0,5х = О 6х + 6у= 102. Затем разделим каждый член этого уравнения на 6: х+у= 17, Система уравнений: х2+у2 = 169, х+у= 17, 84
У1 \ 5 -5 ^ | ” \ /У2 у \ ^ 1 ——— |
[ j j j- | " J *■" 1 III ► . 1 5 X |
|
|
| --5 |
как при х > Х\ функция у\= — убывает, а х функция у2 = х2 + 1 возрастает, и, следова- тельно, графики функций при х > xi не пе- ресекаются. По этой же причине они не пересекаются при 0 < х < xi, Ответ:х« 1,2. Таким образом, уравнение f(x) = g(x), где f(x) и g(x) степенные функции, разномонотонные, лучше решать графическим методом, где наглядно можно увидеть промежутки (интервалы), в которых уравнение имеет корни и в которых оно не имеет корней, а также, если имеет корни, то сколько их. Итак, на основе графического решения уравнения учащиеся делают вывод: Рис. 14 85
L Ecjiu уравнение, содержащее степень, имеет корни, то геометрически этд означает, что графики функций, стоящих в левой и правой частях уравнения, пересекаются, и абсциссы точек пересечения являются корнями уравнения. Верно и обратное: если графики функций, стоящих в левой и правой частях уравнения, содержащего степень, пересекаются то уравнение имеет корни, которыми являются абсциссы точек пересечения этих графиков. Призер 12. Решить уравнение 4*Jx + l = I 2х - ll +3. Решение./. Алгебраический метод Найдем область допустимых значений для переменной х. х + 1 > 0, откуда х > -1. Выражение, стоящее под знаком модуля, приравняем к нулю; 2л: —1=0, откудах = ~. Учитывая ОДЗ, вся числовая ось разобьется на два промежутка: ~1 < х < - и*>!.В каждом из этих промежутков решим наше уравнение. 2 При -1 < х < ~ получаем: 4 д/ х + 1 = -2х + 4, 2 д/х +1 — ~х + 2. Возведем в квадрат обе части полученного уравнения: 4х + 4 = х2 - 4х + 4, х2 - 8х = 0 или х (х - 8) = 0, откуда х\ = 0, х2 = 8. Второй корень является посторонним, так как он не входит в промежуток -1 < х < I ? на котором рассматривается уравнение. Итак, х = 0 - корень исходного уравнения. При * > 1 наше уравнение примет вид: д/х +1 = 2х - 1 + 3, д/"х"+Т = 2х "Ь 2. Возведем в квадрат обе части полученного уравнения: х2 - 2х - 3 = 0. Решая Это уравнение, находим: х\ = 3, х2 = - 1. Второй корень не входит в промежуток х > ^, поэтому он является посторонним. Итак, х = 3 - корень исходного уравнения. Учитывая корень, найденный в пункте 3, получаем ответ. Отвег:х1 = 0,х2 = 3. Как мы; видим, алгебраический метод решения уравнения требует от учащихся большой внимательности, так как появляются посторонние корни. Необходимо 86
Постоянно сравнивать полученный результат с промежутком, на котором рассматривается уравнение.
- Цели, содержание и структура курса математики 5-6 классов
- Значение и место учения о числе в курсе математики общеобразовательной школы
- 5 Класс
- 6 Класс
- 3. Различные пути расширения понятия числа
- 4. Методика изучения натуральных чисел
- 4. Методика изучения натуральных чисел
- 5. Основные вопросы методики изучения дробей
- 5. Основные вопросы методики изучения дробей
- 6. Методика изучения положительных и отрицательных чисел
- I. Основные типы преобразований и этапы их изучения
- III этап. Организация целостной системы преобразований (синтез).
- Буквенной части слагаемых пока остается первой.
- 1. Содержание и роль линии уравнений и неравенств в современном школьном курсе математики
- 2. Основные понятия линии уравнений и неравенств
- I * hi лаже он и возникает по ходу обсуждения процесса решения, то ответ на не-
- Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
- * Последовательность изучения линии уравнений и неравенств
- I )гапы изучения линии уравнений, неравенств и их систем в основной школе
- 1* Курсе математики 5 класса понятие уравнения трактуется аналогично.
- Основные классы неравенств изучаются сразу вслед за изучением со- »»I мотствующих классов уравнений.
- I Ъшить уравнение - это значит найти все его корни или установить, что их нет.
- Решение квадратных уравнений и неравенств
- Il Графический метод (I способ)
- Графический метод
- Системы уравнений с двумя переменными, в которых одно или оба уравнения второй степени
- Графический метод
- Графический метод
- Графический метод
- Графический метод
- Графический метод
- Графический метод
- Il Графический метод
- Il Графический метод
- Графический метод
- Графический метод
- Графический метод
- Графический метод
- 1. Цели обучения решению текстовых задач
- 2. Пропедевтика алгебраического и геометрического методов решения текстовых задач
- 3. Этапы решения задач на составление уравнений и их реализация
- Этап {перевод задачи на геометрический язык).
- Этап (решение задачи на геометрическом языке).
- 1. Из истории введения понятия функциональной зависимости в школьный курс математики
- 2. Различные трактовки понятия функции
- 3. Методика введения понятия функции
- Этап. Мотивация введетя понятия.
- Исследовать функцию на основные свойства.
- Использовать изученные свойства функций при решении различных задач, в частности уравнений и неравенств.
- Влияние коэффициентов hub на поведение функции
- Взаимное расположение графиков линейных функции
- Б. Интеграция аналитического и графического методов в изучении квадратичной функции
- 1. Цели и задачи курса геометрии основной школы
- 2. Содержание обучения геометрии в 7-9 классах
- 3. Логические основы изложения геометрии в 7-9 классах
- Аксиомы принадлежности
- Аксиомы порядка
- Аксиомы измерения отрезков и углов
- Рекомендуемая литература
- 1. Методика изучения основных свойств простейших геометрических фигур
- 1. Учебник а. В. Погорелова: § 1 «Основные свойства простейших геометрических фигур»,
- Определения «через ближайший род и видовые отличия»
- Измерение отрезков и углов
- 3. Учебник а. Д. Александрова и др,: глава I «Начала геометрииж
- 2. Методика формирования геометрических понятий
- 3, Обучение решению задач на первых уроках геометрии
- II группа
- 1. Различные подходы к формированию понятия равенства фигур
- Что нужно знать, чтобы утверждать равенство треугольников abc и dek1
- На рисунке 55 изображено два равных треуголь- ника. Написать равенство этих треугольников, обозначив их вершины.
- Если разносторонние треугольники abc и dkm
- 11Ри иодом пример.
- I (сн тральное место в изучении равных треугольников занимают признаём риионота треугольников.
- Доказательство:
- Доказательство:
- Треугольники вас и cdb равны. Напишите все соотношения, из ко- торых следует равенство указанных треугольников.
- Напишите соотношение между элемен- тами треугольников abc и adc, из которых следовало бы их равенство.
- Какие методические подходы существуют к введению понятия ранено гва фигур в школьном курсе геометрии? Какой подход, на Ваш взгляд, милмется наиболее удачным?
- В чем особенности введения понятия равных треугольников в разных учебниках геометрии?
- Приведите примеры упражнений на усвоение понятия равных треугольников.
- I. Цели и этапы изучения взаимного расположения прямых на плоскости
- 1 Различные подходы к введению понятия параллельности прямых на плоскости.
- I. Методика изучения признаков параллельности прямых.
- 1, Цели и этапы изучения взаимного расположения прямых на плоскости
- 2. Различные подходы к введению понятия параллельности прямых на плоскости
- 4. Методические замечания к изучению перпендикулярности прямых на плоскости
- В данной плоскости через точку вне данной прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной.
- Сумма внутренних углов треугольника равна 2d.
- 1. Различные подходы к изучению многоугольников
- 2. Методика изучения четырехугольников
- Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны,
- Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечении делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм.
- Какие из систем неравенств задают на плоскости трапецию и почему? Покажите штриховкой множество точек плоскости, заданное системой неравенств:
- 1 H найти площадь трапеции.
- 1, Имеет1 ли ось симметрии фигура, заданная системой неравенств:
- Верно ли утверждение: а) любой правильный многоугольник является выпуклым; б) любой выпуклый многоугольник является правильным?
- Чему равны градусные меры углов: а) правильного пятиугольника; б) правильного двенадцатиугольника; в) правильного тридцатишестиугольника?
- Множество направленных отрезков плоскости.
- Множество классов направленных отрезков плоскости.
- Множество параллельных переносов плоскости.
- Начертите равнобочную трапецию: а) существуют ли векторы, определяемые её вершинами и равные по длине? б) Сколько пар сонаправленных векторов задают вершины трапеции?
- Сколько пар сонаправленных (противоположно направленных) векторов определяют вершины параллелограмма?
- Начертить параллелограмм, обозна- чить его вершины и написать все равные ме- жду собой векторы, началом и концом кото- рых являются вершины параллелограмма.
- Векторы а и ъ равны, что следует из этого?
- 3. Методика изучения действий с векторами
- II. Умножение вектора на число
- Учебник геометрии а. В. Погорелова.
- Учебник геометрии j1. С. Атанасяна и Др.
- Построить вектор, представляющий сумму
- 4. Методика обучения решению задач с помощью векторов
- 1. Дан многоугольник abcde. Представьте ad в виде суммы: а) двух; б) I рёх; в) четырех векторов, заданных вершинами этого многоугольника.
- Представьте вектор ав в виде суммы векторов ас, dc , bd .
- Вектор cDколлинеарен вектору ав и Выразите один век-
- Четырехугольник abcd - квадрат. Упростите выражение { ав - 3 вс)2,
- VI. Упражнения на нахождение длины вектора и величины угла между векторами.
- Какие действия с векторами изучаются в школьном курсе геометрии?
- Б) в треугольнике лвс известны длины всех сторон. Определить его углы.
- II кн. До н. Э.) уже фактически пользовался прямоугольными координатами.
- Простейшие задачи в координатах на плоскости
- Уравнения фигур на плоскости
- 4. Особенности применения метода координат
- 5. Методика формирования координатного метода решения задач
- Решение (координатный метод)
- Iэтап(оптимальный выбор прямоугольной системы координат). Выберем прямоугольную систему координат так, как показано на рис. 93.
- Этап (перевод задачи на координатный
- Так как м середина стороны вс, то л/
- Этап (решение задачи на координат- ном языке).
- Рекомендуемая литература
- Значение тригонометрических функций в школьном курсе математики и различные подходы к их изложению
- I ермипы «косинус», «котангенс» и др. Появились в XI—XVII вв.
- Этапы изучения линии уравнений, неравенств и их систем в
- Системы уравнений с двумя переменными, в которых
- Цели и этапы изучения взаимного расположения прямых на
- Различные подходы к введению понятии параллельности пря