logo
книга1

Аксиомы измерения отрезков и углов

III 1. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

Аксиома IHi позволяет ввести координаты на прямой, то есть сопоста­вить каждой точке действительное число так, что если х(А) и х(В) - коорди­наты точек А и В, то длина отрезка АВ равна: \АВ\ = \х (В) - х (Л)|. Однако для установления взаимно-однозначного соответствия между точками прямой и действительными числами нужна аксиома существования отрезка данной длины.

Ш2. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

Используя понятия длины отрезка и градусной меры угла, можно вве­сти понятия равных отрезков, равных углов и равных треугольников, причем понятие равенства треугольников распространяется на ориентированные тре­угольники.

ААВС - AA\B\Ci, если у них ZA = ZAh ZB~ АВЪ ZC~ ZC\,

АВ = А\В\Ь АС = А\С\ и ВС = В\С\. При обозначении равенства треугольни­ков важен порядок в котором записываются вершины треугольников. Равенство ААВС = lsA\B\C\ означает, что ZA ~ZA\, ZB= ZBh ZC- ZC\.... Равенство tsABC = bJB\C\A\ означает уже другое: ZA = ZBh ZB= ZCh ZC= zAi... .

157

  1. Аксиомы откладывания отрезков и углов

IVi- На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить от­резок заданной длины, и только один.

Из этой аксиомы следует, что введением координат на прямой устанав­ливается взаимно-однозначное соответствие между точками прямой и дейст­вительными числами.

IV2. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей, чем 180°, и только один.

  1. Аксиома существования треугольника, равного данному

Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.

  1. Аксиома параллельных прямых.

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плос­кости не более одной прямой, параллельной данной.

  1. Учебник геометрии Л. С Атаиасяна и др.

Неопределяемые понятия: точка, прямая, отношение трех точек «ле­жать между», наложение (понятие принадлежности трактуется авторами как теоретико-множественное, а поэтому не относится к числу неопределяемых понятий).

Система аксиом планиметрии включает следующие группы аксиом.

  1. Аксиомы принадлежности (3 аксиомы).

  2. Аксиомы порядка (3 аксиомы).

  3. Аксиомы наложения (8 аксиом, они позволяют ввести понятие ра­венства фигур).

  4. Аксиомы измерения отрезков.

Аксиомы первых четырех групп позволяют ввести координаты на пря­мой и доказать взаимно однозначное соответствие между точками прямой и действительными числами, а также обосновать измерение углов.

  1. Аксиома параллельных прямых.

  1. Пробный учебник А. Д. Александрова, А. Л. Вернера и В. К Рыжика,

Построение геометрии в данном учебнике опирается на оригинальную аксиоматику, существенным отличием которой является использование от­резка, а не прямой, как неопределенного понятия.

Приведем аксиомы планиметрии.

  1. Каждые две точки можно соединить отрезком и притом только одним.

  2. Каждый отрезок можно продолжить за каждый из его концов.

Аксиомы HI позволяют ввести понятия: «лежать между», прямая, луч.

Лучом называется фигура, получающаяся при неограниченном продолжении отрезка за один из его концов. Прямой АВ называется фигура, которая полу­чается при неограниченном продолжении отрезка АВ за оба конца.

  1. Два отрезка, равные одному и тому же отрезку, равны друг другу.

  2. На каждом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.

158