3. Различные пути расширения понятия числа

Современная математика оперирует с различными по природе числами: натуральными (1, 2, 3, ...); целыми (0, ±1, ±2, ±3, ...), включающими и все на­туральные; рациональными (множество целых чисел, дополненное множест­вом дробей); действительными (множество всех рациональных и иррацио­нальных чисел); комплексными (числа вида а + в/, где а не- любые действи­тельные числа, i - мнимая единица); гиперкомплексными, простейшим ви­дом которых являются кватернионы, т.е. числа вида а + в/ + cj + dk, где а, в, с, d- любые действительные числа, a i,j, А: - особые единицы и т.д.

Эти классы чисел (как Вы знаете из алгебры) являются примерами колец и полей. Z - кольцо целых чисел, где всегда выполнимо сложение, вычитание,

умножение, но не всегда выполнимо деление (даже если исключить деление на нуль); Q - поле рациональных чисел, где вычитание и деление выполнимо (кроме деления на нуль). Числа и операции над ними изучаются в таких мате­матических дисциплинах, как алгебра и теория чисел.

Проводя в школьном курсе математики линию развития понятия числа, не­обходимо придерживаться принципа расширения множества А до множества В. Этот принцип определяется следующими условиями:

1. А должно быть подмножеством J3;

2. Все операции, которые выполнимы в множестве А, определяются в множестве В так, чтобы не противоречить правилам, введенным в множестве А; например, при изучении натуральных чисел рассматривалась операция умно­жения натуральных чисел (8 • 3 = 24), которая сводилась к сложению. Изучая дробные числа, вводим операцию умножения дробных чисел, которая носит уже другой характер, но при этом смысл правила умножения натуральных чи­сел не теряется. Действительно:

⁸-.Ь^ = 8.3;

111-1

3. в множестве В выполнима операция, которая не выполнима в множестве А;

Условие 3) определяет цель расширения. Например, на множестве нату­ральных чисел не всегда выполнима операция вычитания. Расширением мно­жества натуральных чисел, которое удовлетворяет всем этим условиям, являет­ся множество целых чисел.

4. расширение В должно быть минимальным из всех расширений данного множества А и определяется множеством А однозначно с точностью до изо­морфизма.

Замечание: Два множества называются изоморфными относительно какой- либо операции, если между их элементами можно установить взаимно однознач­ное соответствие таким образом, что это соответствие распространяется и на ре­зультаты операции; например, сумме и произведению произвольных двух элемен­тов первого множества будет соответствовать сумма и произведение соответст­вующих элементов второго множества. В таком случае по соотношениям, имею­щимся в одном множестве, можно судить об отношениях, которые существуют в другом, изоморфном ему множестве. Поэтому в высшей алгебре принято изо­морфные группы, кольца, поля считать тождественными.

Существуют два пути расширения числа: логический и исторический.

В пробных учебниках математики содержались в это время и другие ва-