6. Методика изучения положительных и отрицательных чисел

друг моего врага - мой враг.

Вплоть до XVII в. математикам не удавалось хорошо обосновать правило умножения отрицательных чисел.

Леонард Эйлер (1707 - 1783), например, приводил такое обоснование:

имеем два числа ayib, рассмотрим, как умножить эти числа:

1. если а > 0, й > 0 - ясно, т.е. произведение будет иметь знак «+»;

2. если а < 0 ,Ь> 0 -ясно, т.е. произведение будет иметь знак «-»;

3. если a > 0, Ъ < 0, то применяем переместительный закон и получаем случай второй;

4. если a < 0, Ъ < 0, то произведение знак «-» не может иметь, так как произведение со знаком «-» было в другом случае, значит, произведение будет иметь знак «+». (Под другим случаем понимается тот случай, когда числа а и Ъ имеют разные знаки. Другого обоснования Эйлер не дал.)

Были попытки обосновать правила дейст- вий с положительными и отрицательными чис- лами исходя из геометрических образов. Так, для обоснования правила умножения положительных и отрицательных чисел вычисляли площадь за- штрихованного прямоугольника (рис. 2) непо- средственно и путем выполнения операции ум- ножения:

(a — c)(b - d) = ab — be - ad+ cd. Полученный один и тот же результат яв- лялся основанием для формулировки правила умножения. Ошибочность возникновения этого правила связана с тем, что, выполняя умножение

а - с на b-d в скрытой форме, предполагают, что для отрицательных чисел справедлив рас- пределительный закон, хотя отрицательное число не введено, не дан критерий сравнения, не определены действия сложения и умножения.

Таким образом, отрицательные числа долго не получали признания.

Немецкий математик Михаил Штифельв книге «Полная арифметика» (1544) впервые вводит понятие об отрицательных числах как о числах, меньших нуля (меньших, чем ничто). Это был очень большой шаг вперед в деле обоснования отрицательных чисел. Он дал возможность рассматривать отрицательные числа не как долг, а совсем по-иному, по- новому. Но и Штифель называл отрицательные числа абсурдными-, действия с ними, по его словам «тоже идут абсурдно, навыворот».

После Штифеля ученые стали более уверенно производить действия с отрицательны­ми числами. Все чаще сохранялись и истолковывались отрицательные решения в задачах.

Права гражданства отрицательные числа получили лишь после того, как РенеДекарт (1596 - 1650) применил их в построении аналитической геометрии. Р. Декарт дал определенное истолкование отрицательным числам, они получили математическую интерпретацию. Отрица­тельные числа он рассматривал как самостоятельные, расположенные на оси х влево от начала координат. Декарт называл их ложными. Так отрицательные числа вошли в математику.

Основная цель ознакомления с историей любого математического вопро­са заключается в том, что этот материал помогает предвидеть трудности, кото­рые могут возникнуть при объяснении соответствующей темы на уроке.

Рассмотрим теперь методику изучения отрицательных чисел.

В учебной и методической литературе выделяют в основном два пути введения отрицательных чисел.

1. Формально-логический, когда введение отрицательных чисел объяс­няется необходимостью выполнения действия вычитания во всех случаях. Эта

к 14 кп зрения отражена в работах таких математиков, как П.А. Погорельский, Д.Л. 1 'ране, в первых учебниках А.П. Киселева (до 1912 г.) и др.

2. Реально-конкретный, который исходит из непосредственной связи от­рицательных чисел с действительностью, с конкретными представлениями. Та- кпи тенденция нашла отражение в учебниках А.Ю. Давидова, А.Ф. Малинина, К ,Ф, Лебединцева, А.П. Киселева (с 1912 г.) и др., а также в большинстве со- временных учебников.

¹1 гобы ввести понятие отрицательного числа, надо не только дать его оп­ределение, но и сделать это новое число равноправным с ранее известными по­ложительными числами, узаконить его. Для этого необходимо:

1. определить понятие равенства;

2. определить понятия «больше», «меньше», то есть указать критерий фшшения новых чисел между собой и с ранее известными числами;

3. определить действия сложения и умножения;

4. показать, что законы действий, установленные для изучаемых ранее чиееп, справедливы для новых чисел.

11собходимо показать также, что до введения отрицательных чисел опе­ршим вычитания на множестве положительных чисел была не всегда выполни­ли i Таким образом, в школьном курсе математики сочетаются реально- кчикрстиый и формально-логический пути введения отрицательного числа.

Учащиеся должны хорошо понимать смысл и значение отрицательных чи- '>'11,1 юэтому введение отрицательных чисел должно быть хорошо мотивировано.

Мотивировка может быть:

п) алгебраической (возможность выполнения вычитания);

Г>) геометрической (соответствие между точками прямой и числами);

н) практической (характеристика изменения величины)

И учебнике математики для VI класса Н.Я. Виленкина [5] подробно рас- ■ мигримшотся эти вопросы, имеются разнообразные и интересные по содержанию

111ДНЧИ.

Дня введения понятия отрицательного числа нельзя ограничиваться рас- | мшрепмем какой-то одной конкретной ситуации, ограниченным числом приме­ром I епи это понятие вводится на большом числе примеров, то ученики и в ана- нн ичиоН ситуации научатся его применять.

Мотивировать введение понятия отрицательного числа в школе можно так- 11 п на основе знакомого арифметического материала в связи с невозможностью пыжшиеиия вычитания на множестве положительных чисел. При этом в качестве п I ник¹, грации можно использовать координатную прямую.

Пример (рис. 3). Пусть число 5 - уменьшаемое, а вычитаемыми будут Ч1п ни 0, 1,2, 3,4,5, 6,7,....

Разность

I I I I I I 1 I 1 I I *

0 1 2 3 4 5 6 7

Всякий раз, чтобы найти разность между числом 5 и каждым из вычитае­мых, достаточно перемещаться влево по координатной прямой от уменьшаемого на столько единиц, сколько их содержится в вычитаемом.

5-0 = 5 Результат вычитания из числа 5 числа 6 окажется на одну 5-1=4 единицу слева от нуля.

5-2 = 3 Но чтобы не писать «слева от нуля», принимают условие:

5-3 = 2 писать перед единицей знак «-».

5-4=1 Рассмотрим несколько методических приемов, исполь-

5-5 = 0 зуемых при введении понятия отрицательного числа и ис- 5 _ g = _4 ходящих из реально-конкретного пути изучения отрица- 5 - 7 = -2 тельных чисел.

Первый прием. Используется некоторая конкретная задача, в ходе решения которой получается отрицательное число.

Пример 1. Термометр показывал утром а градусов, а в полдень - 6 гра­дусов. На сколько градусов изменилось показание термометра за это время, если: а) а = 6, б) а = 7, в) а =10.

6=13; 6 = 7; 6 = 8?

Для решения этой задачи составим формулу: Ь-а.

а) а = 6, 6=13, Ъ - а = 13 - 6 = 7. Семь градусов выше нуля.

б)я = 7, 6 = 7, 6-а = 7-7 = 0. Термометр показывает нулевую температу­ру. Нуль здесь принимает новый смысл, это число, которое показывает опреде­ленную температуру, то есть это уже число, характеризующее величину.

в)6-а = 8-10, что не имеет смысла для учащихся. Но ведь температура существует и в этом случае. Как её найти?

Обычно на этот вопрос учащиеся отвечают, что надо из 10 вычесть 8, или говорят, что будет два градуса ниже нуля. Здесь можно сообщить учащимся, что и в этом случае пользуемся формулой 6 - а и выполняем вычитание 8 - 10 , но оно противоположно действию 10 - 8, и поэтому удобнее результату приписывать знак «-», то есть 8 - 10 = -2.

Вместо слов «выше нуля» и «ниже нуля» договорились ввести математиче­ские знаки «+» и «-», и тогда формула 6 - д стала применимой для любых зна­чений Ъша.

Пример 2. Теплоход прошел т км вверх по реке (против течения), а за­тем п км вниз. На каком расстоянии от первоначального места и по какую сторону от него находится теплоход, если:

а) т = 80, б )т = 50, в) т = 60,

п = 25; п = 90; п = 60?

(Решение аналогично.)

После решения нескольких подобных задач делается вывод о том, что ре­шение одной и той же задачи не может быть выражено одной формулой, если пользоваться только положительными числами. Поэтому возникает необходи­мость введения новых чисел - отрицательных чисел.

Этот подход имеет свои недочеты. Например, более строго надо доказать справедливость формулы для всех случаев, когда понятие о положительных и от-

I нишимн.ных числах и действиях над ними уже дано.

Нторой прием. В учебной и методической литературе часто встречается , nui 'iiii введения отрицательных чисел в связи с рассмотрением изменения какой- Ш1Гвеличины. Причем положительные числа характеризуют увеличение вели­чины, отрицательные - ее уменьшение.

Рациональное число рассматривается как мера значения величины, которая и вменяется в двух противоположных направлениях. В этом случае необходимо | п mu ни направления рассматриваемых величин. Примеры:

1.11ешеход от станции прошел 10 км. Где он находится?

2. Термометр показывает 12°С. Замерзла ли вода? И т.д.

Из рассмотрения таких примеров учащиеся убеждаются, что для опреде­ленности в этих задачах необходимо указать направление, в котором идет отсчет, шшринлепие изменения величины. Вместо того чтобы применять словесные запи- | и, инерх-вниз, вправо-влево, тепло-холод и т.д., что громоздко, проще направле­ние изменения величины характеризовать математическими знаками. Для числа, иршегеризующего изменение величины в одном направлении, принимается знак »11* (например, 12° тепла запишем: +12°); для числа, характеризующего измене­ние исличины в противоположном направлении, принимается знак <<—» (напри­мер, 12° холода запишем: -12°).

Такой подход имеет большое преимущество по сравнению с первым подхо- m »м. Рассмотрение задач в данном случае сопровождается графической иллюст- I мн щой. Таким образом естественно устанавливается связь между рациональными •ни нами и точками координатной прямой.

Третий прием. Согласно ему новые числа вводятся в связи с рассмотрени- I м меры изменения величины (в отличие от понятия меры значения величины во ¹ ом приеме), то есть вводится понятие приращения. Такой подход вызывает у , чпщихся меньше путаницы в связи с двояким смыслом знаков «+» и «—» как зна- 14)11 сложения и вычитания и в то же время знаков положительных и отрица- н'пьпых чисел.

I) учебнике математики для общеобразовательных учреждений основным | рсдетном изложения темы «Положительные и отрицательные числа» является '■ оордипатная прямая.

Для введения понятия отрицательного числа необходимо дать определе­ние модуля, понятие о противоположных числах, выяснить вопрос о сравнении помых чисел между собой и с изученными ранее, рассмотреть действия с поло- hi тельными и отрицательными числами и выяснить справедливость законов цеМетвий для этих чисел. Остановимся кратко на этих вопросах.

I. Понятие модуля числа вводится как расстояние от точки, изображаю­щей это число, до начальной точки. Это определение тесно связано с нагляд­ным и геометрическим представлениями и истолкованием положительных и отрш (ательных чисел.

Мотивировать введения модуля числа можно на примере решения кон­кретной задачи. Следует также показать на примерах, что при рассмотрении одних вопросов, связанных с положительными и отрицательными числами,

приходится учитывать направление отсчета значений величины, а при рассмот­рении других - в этом нет надобности.

Пример. Когда путешественник пройдет на восток от начального пункта 60 км, то его положение относительно начального пункта можно запи­сать числом +60. Когда он пройдет от того же пункта 60 км на запад, то его положение относительно начального пункта следует записать числом —60. И в том и в другом случае пройденный путь будет характеризоваться числом 60.

Затем формулируется правило нахождения модуля числа. Поясняется, что модуль числа не может быть отрицательным, так как модуль числа - это расстояние, что модуль положительного числа равен самому числу, модуль лю­бого отрицательного числа равен числу ему противоположному.

II. Введение противоположных чисел связывается с геометрическим истолкованием положительных и отрицательных чисел. Учащимся сообщается, что точки с координатами 5 и - 5 одинаково удалены от точки О и находятся по разные стороны от нее. Чтобы попасть из точки О в эти точки, надо пройти одинаковые расстояния, но в противоположных направлениях. Числа 5 и -5 на­зываются противоположными числами: 5 противоположно -5, а -5 противопо­ложно 5. Два числа, отличающиеся друг от друга только знаками, называют противоположными числами.

Ш. Вопрос о сравнении положительных и отрицательных чисел вы­ясняется с помощью координатной прямой. Соотношение равенства и неравен­ства между этими числами в 6 классе вводится без доказательств. При этом очень важно показать учащимся целесообразность вводимых определений на конкретных примерах и с помощью геометрических образов. Обращение к ко­ординатной прямой можно использовать и для подготовки к введению соответ­ствующих определений. Причем, так как множество рациональных чисел вклю­чает в себя множество натуральных чисел, то сравнение их необходимо произ­водить так же, как проводилось сравнение натуральных чисел. Учащимся уже известно, что относительно двух неравных положительных чисел а и Ъ можно сказать: если а> b (а <Ъ), то точка, соответствующая числу а, на координатном луче расположена правее (левее), чем точка, соответствующая числу' Ь. Если числа равны, то соответствующие им точки совпадают. Это же правило можно распространить (по определению) и на всю координатную прямую в применении к положительным, отрицательным числам и нулю. Значит, если на координатной прямой числу а соответствует точка А и числу Ъ соответствует точка В, то:

1. если a = b, то Ап В совпадают;

2. если а < Ь, то А лежит левее В;

3. если а > Ъ, то А лежит правее В.

Верны и обратные предложения:

1. если А и В совпадают, то а = b (числам а и Ъ соответствует одна и та же точка);

2. если А лежит левее В, то а < Ь;

3. если А лежит правее В, то а > Ъ.

Из этого вытекают правила для сравнения положительных и отрицатель­ных чисел, которыми учащиеся могут теперь пользоваться, не прибегая всякий

pin к координатной прямой.

1. Всякое положительное число больше нуля и больше всякого отрица- 11Ч||,него числа.

2. Всякое отрицательное число меньше нуля и меньше всякого положи- ЮЛЫ10Г0 числа.

3. Из двух положительных чисел больше то число, модуль которого Польше» и меньше то, у которого модуль меньше.

4. Из двух отрицательных чисел меньше то, у которого больше модуль, а больше то, у которого меньше модуль.

Эти правила устанавливаются из рассмотрения ряда примеров с исполь- иншнием координатной прямой.

Таким образом, координатная прямая является основным средством, ко­торое дает наглядное истолкование соотношениям равенства и неравенства ме- | ду положительными и отрицательными числами.

IV. Рассмотрим действия над положительными и отрицательными числами. Здесь необходимо учитывать, что действия сложения и умножения та) положительными и отрицательными числами вводятся по определению, причем формулировки этих определений должны включать в себя ранее из- шч I мыс учащимся понятия об этих действиях.

Вычитание и деление определяются как действия, обратные соответст- ионно сложению и умножению. Это уже известная учащимся форма этих дей- ' IПий. Но объемы этих понятий, то есть каждого из двух обратных действий, и 111¹1 и I ел ьно расширяются.

В школьном курсе математики определение действия обычно дается в пн до правила. Причем даются отдельно правила сложения отрицательных чисел п приняла сложения чисел с разными знаками. Формулировка этих правил со­держит указания на соответствующие действия, операции. К такому введению Д| in тиий учащиеся уже привыкли.

большое внимание здесь следует уделить тому, как подвести к определе­нии) действия сложения. Для этого можно использовать конкретные задачи на ■ чожепие чисел с помощью координатной прямой. Но каким бы путем ни вво- нннк I. правило сложения, учащимся должно быть ясно, что рассмотрение при­мером лишь иллюстрирует соответствующее правило, но не может служить его мошгштельством.

I ( ходе изучения данного материала учащиеся должны овладеть навыками ммполпсния операции сложения двух положительных чисел, двух отрицатель-

* чисел, двух чисел с разными знаками, противоположных чисел, нуля с по-

Mu.ilи гольными и отрицательными числами. При этом они должны твердо усво- IMI., что сохраняют силу все те законы, которые имели место для положитель­ных чисел.

Учащимся дается формулировка переместительного и сочетательного за- ищои, чинись каждого из них с помощью букв. В справедливости этих законов, и иноке в целесообразности их использования для сложения нескольких поло­жи игольных и отрицательных чисел учащиеся убеждаются путем рассмотрения Поныпого числа примеров.

Вычитание отрицательных чисел, так же как и положительных, опреде­ляется как действие, обратное сложению: вычесть из числа а число Ъ - значит найти такое число х, которое в сумме с числом Ъ даст число а. Однако объем этого понятия расширяется. По существу, это новое определение, которое включает ранее известное. В этом случае вычитание сводится к прибавлению противоположного числа.

Умножение положительных и отрицательных чисел представляет наи­большую трудность, которая заключается в том, что учащиеся не могут отде­латься от потребности в доказательстве правила знаков при умножении, а учи­тель не только не может дать доказательство этого правила, но должен суметь убедить учащихся, что такого доказательства нельзя искать или требовать. Правило знаков, которое дается в школе, является, по существу, своеобразной трактовкой определения операции умножения положительных и отрицательных чисел.

Итак, действие умножения вводится по определению. Однако определе­ние этого действия можно ввести по-разному. Существуют различные пути ис­толкования правила знаков.

Сложение и умножение положительных и отрицательных чисел имеют мно­го общего, однако трактовка правила умножения вызывает больше трудностей.

Довольно распространено объяснение правила умножения из предвари­тельного рассмотрения ряда конкретных задач, решение которых требует про­водить вычисления по формуле вида ab. Задача рассматривается вначале для по­ложительных значений а и Ъ, затем когда а или Ъ отрицательно и, наконец, ко­гда и а и Ъ отрицательны. После чего дается правило умножения. Недочет тако­го метода не только в его громоздкости, но главным образом в том, что у уча­щихся создается впечатление, даже убеждение, что они «доказывают» правило умножения. Кроме того, применение такого пути связано и с допущением ло­гической ошибки, ибо формула вида аЪ верна для а > 0 и Ъ > 0. Но если а или b отрицательно или оба вместе отрицательны, то до введения определения произ­ведения любых положительных и отрицательных чисел распространять форму­лу вида аЪ на эти числа нельзя.

Многие авторы учебной и методической литературы придерживаются догматического способа введения умножения. Сущность его состоит в том, что дается формулировка правила умножения, затем оно поясняется на примерах, задачах. Учащиеся убеждаются на конкретном материале в практической целе­сообразности введенного определения.

Этот способ соответствует научной трактовке определения умножения рациональных чисел, экономен в отношении времени и, как показала практика, доступен учащимся.

В учебнике математики для 6 класса Н.Я. Виленкина [5] формулиров­кам правила умножения чисел с разными знаками и правила умножения от­рицательных чисел предшествует рассмотрение ряда примеров. При этом ис­пользуется положение о том, что если изменить знак одного из множителей, то изменится знак произведения. Правила формулируются в удобном для ис­пользования виде.

(' целью конкретного истолкования смысла умножения двух отрица­ют,нмх чисел и умножения положительного числа на отрицательное целе­сообразно рассмотреть ряд задач, решение которых связано с перемещением но координатной прямой.

11еобходимо обратить внимание учащихся на условие равенства произ- ||| /н'ния нулю, результат умножения на —1.

Деление положительных и отрицательных чисел рассматривается обычно как действие, обратное умножению.

Учащимся сообщается, что деление положительных и отрицательных чи- 141 и имеет тот же смысл, что и деление положительных чисел, а именно, по дан- MI 'му произведению и одному из множителей находят второй множитель. После рш'шотрения ряда примеров делают вывод о знаке частного и о том, как нахо- iiiiTi. модуль при делении двух отрицательных чисел, двух чисел с разными шикими. Таким образом учащихся подводят к формулировке правила деления поюжительных и отрицательных чисел.

I) 6 классе в теме «Рациональные числа» продолжается изучение поло- mi ичп.ных и отрицательных чисел и вводится понятие рационального числа щи* числа, которое может быть записано в виде дроби. Рассматривая множе- | ню рациональных чисел, можно сделать вывод о том, что в этом множестве тчтда выполнимы сложение, вычитание, умножение и деление на число, не ртшос нулю. При выполнении действий получаем числа того же множест- ми, то есть это множество обладает свойством замкнутости по отношению к нойггииям первой и второй ступени.

Для сложения справедливы:

1. переместительный закон а + b = Ъ + а;

2. сочетательный закон а + (Ъ + с) = (а + Ь) + с\

3. а + 0 = а, то есть имеется нейтральный элемент;

4. а + (- а) = О, то есть имеется противоположный элемент - противопо- '|п,мюе число.

Для умножения справедливы:

1. переместительный закон ab = Ьа;

2. распределительный закон а (Ъ + с) = ab + ас;

1) сочетательный закон а (Ьс) = (аЪ) с;

4. а ■ 1 = а, то есть имеется нейтральный элемент;

5. «•(—)= 1, то есть имеется обратный элемент.

а

Вопросы и задания

1. Охарактеризуйте в общих чертах структуру и содержание курса ма- тмитики 5-6 классов.

2. Каково значение и место учения о числе в школьном курсе матема-

I нки?

3. Проанализируйте учебники математики для 5-6 классов авторов:

а) Дорофеев Г. В., Шарыгин И. Ф., Суворова С. В. и др.;

б) Зубарева И. И., Мордкович А. Г.;

в) Истомина Н. Б.;

г) Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н. и др.

с точки зрения последовательности изучения в них чисел разных видов. Сде­лайте выводы.

4. Сравните методику изучения дробей в разных учебниках, сделайте выводы.

5. Охарактеризуйте приемы введения понятия отрицательного числа. Предложите свой прием.

6. Опишите методику сравнения положительных и отрицательных чисел.

7. Используя действующие учебники математики для 5-6 классов, раз­работайте методику изучения сложения (умножения) положительных и отрица­тельных чисел.

8. Какое число называется рациональным? Какие законы справедливы для сложения и умножения рациональных чисел?

Рекомендуемая литература

1. Автономов а, Т. В. Практикум по методике преподавания математики в средней школе: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов / Т.В. Автономова, С.Б. Верченко, В.А. Гусев и др.; Под ред. В.И. Мишина. - М.: Просвещение, 1993.

2. А р у т ю н я н, Е. Б. Математические диктанты для 5-9-х классов: Книга для учителя / Е.Б. Арупонян, М.В. Волович и др. - М.: Просвещение, 1991.

3. Б а р а н о в а, И. В. Математика: Пробный учебник для 4 класса средней школы / И.В. Ба­ранова, З.Г. Борчугова. - М.: Просвещение, 1984.

4. Б ар а н о в а, И. В. Математика: Пробный учебник для 5 класса средней школы / И.В. Ба­ранова, З.Г. Борчугова. - М.: Просвещение, 1985.

5. В и л е н к и я, Н. Я. Математика: Учеб. для 6 кл. общеобразоват. Учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. - 10-е изд., стереотип. - М.: Мнемозина, 2002.

6. Г л е й з е р, Г. И. История математики в школе: IV - VI кл. Пособие для учителей / Г.И. Глейзер. - М.: Просвещение, 1981.

7. Д е м и д о в, В. П., С а р а н ц е в, Г. И. Методика преподавания математики: Учеб. по­собие для студентов / В.П. Демидов, Г.И. Саранцев / Мордов. гос. ун-т. - Саранск, 1976.

8. Л я щ е н к о, Е. И. Методика обучения математике в 4-5 классах / Е.И. Лященко, А.А. Ма-

заник. - Минск: «Народная Асвета», 1976.

9. Методика и технология обучения математике. Курс лекций: пособие для вузов / под научн. ред. Н. Л. Стефановой, Н. С. Подходовой. - М.: Дрофа, 2005.-416 с.

10. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учеб. посо­бие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. спец. /А.Я. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев и др.; Сост. В.И. Мишин. - М.: Просвещение, 1987.

11. Программы общеобразовательных учреждений: Математика. - М.: Просвещение, 1998.

12. Т е р е ш и н, Н. А. Сборник задач и примеров по математике. 5-6 класс / Н.А. Терепшн, Т.Н. Терешина. - М.: Аквариум, 1997.

13. X и н ч и н, А. Я. Педагогические статьи. Под ред. Б.В. Гнеденко / А.Я. Хинчин. - М., 1963.

14. Ц у к а р ь, А. Я. Практика и образы при изучении обыкновенных дробей / А.Я. Цукарь // Ма­тематика в школе. —1994. - № 5. — С. 5 - 9.

15. Ш е в к и н, А. В. О пропедевтике действий с отрицательными числами / А.В. Шевкин // Ма­тематика в школе.-1991.- №3.-С. 17-21.

16. Ш е в р и н, Л. Н. Математика 5-6. Учебник-собеседник / Л.Н. Шеврин и др. - М.: Просве­щение, 1989.