Использовать изученные свойства функций при решении различных задач, в частности уравнений и неравенств.

Этот этап является этапом закрепления основных понятий и теоретиче­ских положений, связанных с изучаемой функцией, а также этапом формирова­ния соответствующих умений и навыков.

Эта методическая схема является планом - программой для изучения лю­бой функции.

Замечание. Изучение функций в школе связано с новым видом специ­фической учебной деятельности - исследовательской. Было бы неправильно ут­верждать, что до изучения функций учащиеся не встречались с исследователь­ской деятельностью, но она не была прямой целью деятельности, и учебная зада­ча формировать исследовательские умения не ставилась. При изучении в школе первой конкретной функции - линейной необходимо поставить такую цель.

Специфическая особенность функционального материала выражается в том, что функции есть модели реальных процессов. Изучение отдельных свойств процессов осуществляется путем исследования функций. Конкретные функции обладают определенными свойствами, которые есть абстракции реальных свойств процессов. Установить наличие и специфику для конкретной функции определенных свойств - значит исследовать функцию.

Методы выяснения определенных свойств функций есть методы исследо­вания. Они могут выполняться средствами: 1) координатного метода; 2) элемен­тарного анализа (с помощью уравнений и неравенств); 3) математического ана­лиза (с помощью производной).

Исследовательские умения, необходимые при изучении функций - это умения выделить условия, при которых функция обладает определенным свой­ством, и умения выяснить, как с изменением условий изменяются свойства функций. Формирование названных специфических исследовательских умений окажет влияние на формирование исследовательской деятельности вообще.

При изучении функций в школе формируются и используются следующие

Как видим, по учебнику Ю. Н. Макарычева и др. линейная функция изуча­ется в начале курса, что дает возможность раньше использовать её график (на­пример, при решении уравнений или неравенств), а по учебнику Ш. А. Алимова и др. она изучается в конце курса. Кроме того, в нем не выделен пункт «Взаимное расположение графиков линейных функций», очень важный для графического решения систем уравнений. В первом учебнике сначала изучается линейная функция, а затем, как частный случай, прямая пропорциональность (у = кх). Во втором учебнике сначала изучается функция у-кх, а затем линейная функция и сё график.

Рассмотрим более подробно методику введения линейной функции и её графика ( в первом варианте). Изучение линейной функции начинается с рас­смотрения конкретных примеров:

Пример 1. На шоссе расположены пункты А и В, удаленные друг от друга на 20 км (рис. 39).

у

А 20 км # ►

Мотоциклист выехал из пункта В в направлении, противоположном А, со скоростью 50 км/ч. За t часов мотоциклист проедет 501 км и будет находиться, от А на расстоянии (50* + 20) км.

S- 50t + 20, где t >0.

Пример 2. Ученик купил тетради по 3 р. за штуку и ручку за Зр. 50 к. Стоимость покупки зависит от числа тетрадей.

Обозначим число купленных тетрадей буквой х, а стоимость покупки (в руб.) буквой у. Получим:

у = Зх + 3,5, где х eN.

Пример 3. Из курса физики известно, что если железная проволока длиной 1 м нагревается до температуры t°, а коэффициент линейного её расши­рения равен к = 0,0012, то длина проволоки при этой температуре может быть вычислена по формуле

/# = 1 + 0,0012*.

И т.д.

В этих примерах мы встретились с функциями, заданными формулами вида у = кх + Ъ, где х - независимая переменная, ки b - числа. Такие функции называют линейными.

Затем формулируется определение.

Определение. Линейной функцией называется функция, которую можно за­дать формулой у = кх + Ъ₉ где х - независимая переменная, кв.Ь-некоторые числа.

Усвоение определения происходит путем выполнения упражнений на распознавание.

После этого учащиеся знакомятся с графиком линейной функции. При этом рассматриваются два наиболее распространенных способа построения гра­фика линейной функции.

1. способ. Использование «загущения» точек на графике. Последователь­ность действий по этому способу: а) нанесение нескольких точек; б) наблюде­ние - все построенные точки расположены на одной прямой; проведение этой прямой; в) проверка: берем произвольное значение аргумента и вычисляем по нему значение функции; наносим точку на координатную плоскость - она при­надлежит построенной прямой. Отсюда делается вывод о графике данной ли­нейной функции.

Общее свойство линейных функций будет при этом формироваться на основе изолированных примеров.

2. способ. Построение графика по двум точкам. Этот способ уже предпо­лагает знание соответствующего свойства графиков линейных функций.

В обучении происходит последовательная смена этих способов: когда общее свойство графиков усвоено (при рассмотрении первого способа), начи­нают применять второй способ - он экономнее и обоснован геометрически, так как через две точки проходит одна и только одна прямая.

Изучение этих способов сопровождается рассмотрением конкретных примеров.

Пример 1. Построить график линейной функции у = 0,5х - 2.

Составим таблицу соответственных значений х и у:

Отметим в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице. Все отмеченные точки лежат на одной прямой. Эта прямая является графиком линейной функции у = 0,5х - 2 (рис. 40 а, б).

У

-6