Учебник геометрии а. В. Погорелова.

Произведением вектора а{а\\ яг) на число Л называется вектор с коор­динатами Ла\, Хаъ

Затем выполняются упражнения на построение произведения вектора на число:

1. Постройте произведение вектора О А (4; 5) на число а) 2; б) -3; в) 0; г) 5; д)-1,5.

В процессе выполнения упражнений такого типа учащиеся могут заме­тить, что векторы О А и Л О А лежат на одной прямой и направления их совпа­дают, если Л > 0 и противоположны, если Л < 0.

Полезны упражнения на распознавание среди множества векторов таких, которые являются произведением данного вектора на некоторое число.

2. Среди векторов а(3; 5), А (-2; -10), с(0; 1), d (-2; 4), е(3; 6) указать такие, которые являются произведением вектора т (1; 2) на некоторое число.

Координатное определение произведения вектора на число позволяет легко обосновать все свойства умножения вектора на число. Однако оно не дает способа построения произведения данного вектора на заданное число. Возника­ет проблема отыскания такого способа. Приведенное нами первое упражнение позволяет ознакомить учащихся с тем, что длина вектора Ха равна \Л\ \а\. На­правление Ла [а ф б) совпадает с направлением а, если Л > 0 и противополож­но направлению вектора 5, если Л < 0. Упражнение будет способствовать и «открытию» доказательства этой теоремы. Теорема, в свою очередь, мотивиру­ет введение понятие коллинеарных векторов.

2. Содержание

   • Цели, содержание и структура курса математики 5-6 классов
   • Значение и место учения о числе в курсе математики общеобразовательной школы
   • 5 Класс
   • 6 Класс
   • 3. Различные пути расширения понятия числа
   • 4. Методика изучения натуральных чисел
   • 4. Методика изучения натуральных чисел
   • 5. Основные вопросы методики изучения дробей
   • 5. Основные вопросы методики изучения дробей
   • 6. Методика изучения положительных и отрицательных чисел
   • I. Основные типы преобразований и этапы их изучения
   • III этап. Организация целостной системы преобразований (синтез).
   • Буквенной части слагаемых пока остается первой.
   • 1. Содержание и роль линии уравнений и неравенств в современном школьном курсе математики
   • 2. Основные понятия линии уравнений и неравенств
   • I * hi лаже он и возникает по ходу обсуждения процесса решения, то ответ на не-
   • Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
   • * Последовательность изучения линии уравнений и неравенств
   • I )гапы изучения линии уравнений, неравенств и их систем в основной школе
   • 1* Курсе математики 5 класса понятие уравнения трактуется аналогично.
   • Основные классы неравенств изучаются сразу вслед за изучением со- »»I мотствующих классов уравнений.
   • I Ъшить уравнение - это значит найти все его корни или установить, что их нет.
   • Решение квадратных уравнений и неравенств
   • Il Графический метод (I способ)
   • Графический метод
   • Системы уравнений с двумя переменными, в которых одно или оба уравнения второй степени
   • Графический метод
   • Графический метод
   • Графический метод
   • Графический метод
   • Графический метод
   • Графический метод
   • Il Графический метод
   • Il Графический метод
   • Графический метод
   • Графический метод
   • Графический метод
   • Графический метод
   • 1. Цели обучения решению текстовых задач
   • 2. Пропедевтика алгебраического и геометрического методов решения текстовых задач
   • 3. Этапы решения задач на составление уравнений и их реализация
   • Этап {перевод задачи на геометрический язык).
   • Этап (решение задачи на геометрическом языке).
   • 1. Из истории введения понятия функциональной зависимости в школьный курс математики
   • 2. Различные трактовки понятия функции
   • 3. Методика введения понятия функции
   • Этап. Мотивация введетя понятия.
   • Исследовать функцию на основные свойства.
   • Использовать изученные свойства функций при решении различных задач, в частности уравнений и неравенств.
   • Влияние коэффициентов hub на поведение функции
   • Взаимное расположение графиков линейных функции
   • Б. Интеграция аналитического и графического методов в изучении квадратичной функции
   • 1. Цели и задачи курса геометрии основной школы
   • 2. Содержание обучения геометрии в 7-9 классах
   • 3. Логические основы изложения геометрии в 7-9 классах
   • Аксиомы принадлежности
   • Аксиомы порядка
   • Аксиомы измерения отрезков и углов
   • Рекомендуемая литература
   • 1. Методика изучения основных свойств простейших геометрических фигур
   • 1. Учебник а. В. Погорелова: § 1 «Основные свойства простейших гео­метрических фигур»,
   • Определения «через ближайший род и видовые отличия»
   • Измерение отрезков и углов
   • 3. Учебник а. Д. Александрова и др,: глава I «Начала геометрииж
   • 2. Методика формирования геометрических понятий
   • 3, Обучение решению задач на первых уроках геометрии
   • II группа
   • 1. Различные подходы к формированию понятия равенства фигур
   • Что нужно знать, чтобы утверждать равенство треугольников abc и dek1
   • На рисунке 55 изображено два равных треуголь- ника. Написать равенство этих треугольников, обозначив их вершины.
   • Если разносторонние треугольники abc и dkm
   • 11Ри иодом пример.
   • I (сн тральное место в изучении равных треугольников занимают призна­ём риионота треугольников.
   • Доказательство:
   • Доказательство:
   • Треугольники вас и cdb равны. Напишите все соотношения, из ко- торых следует равенство указанных треугольников.
   • Напишите соотношение между элемен- тами треугольников abc и adc, из которых следовало бы их равенство.
   • Какие методические подходы существуют к введению понятия ра­нено гва фигур в школьном курсе геометрии? Какой подход, на Ваш взгляд, милмется наиболее удачным?
   • В чем особенности введения понятия равных треугольников в разных учебниках геометрии?
   • Приведите примеры упражнений на усвоение понятия равных тре­угольников.
   • I. Цели и этапы изучения взаимного расположения прямых на плоскости
   • 1 Различные подходы к введению понятия параллельности прямых на плоскости.
   • I. Методика изучения признаков параллельности прямых.
   • 1, Цели и этапы изучения взаимного расположения прямых на плоскости
   • 2. Различные подходы к введению понятия параллельности прямых на плоскости
   • 4. Методические замечания к изучению перпендикулярности прямых на плоскости
   • В данной плоскости через точку вне данной прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной.
   • Сумма внутренних углов треугольника равна 2d.
   • 1. Различные подходы к изучению многоугольников
   • 2. Методика изучения четырехугольников
   • Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны,
   • Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересече­нии делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм.
   • Какие из систем неравенств задают на плоскости трапецию и почему? По­кажите штриховкой множество точек плоскости, заданное системой неравенств:
   • 1 H найти площадь трапеции.
   • 1, Имеет1 ли ось симметрии фигура, заданная системой неравенств:
   • Верно ли утверждение: а) любой правильный многоугольник является выпуклым; б) любой выпуклый многоугольник является правильным?
   • Чему равны градусные меры углов: а) правильного пятиугольника; б) правильного двенадцатиугольника; в) правильного тридцатишестиугольника?
   • Множество направленных отрезков плоскости.
   • Множество классов направленных отрезков плоскости.
   • Множество параллельных переносов плоскости.
   • Начертите равнобочную трапецию: а) существуют ли векторы, опреде­ляемые её вершинами и равные по длине? б) Сколько пар сонаправленных век­торов задают вершины трапеции?
   • Сколько пар сонаправленных (противоположно направленных) векто­ров определяют вершины параллелограмма?
   • Начертить параллелограмм, обозна- чить его вершины и написать все равные ме- жду собой векторы, началом и концом кото- рых являются вершины параллелограмма.
   • Векторы а и ъ равны, что следует из этого?
   • 3. Методика изучения действий с векторами
   • II. Умножение вектора на число
   • Учебник геометрии а. В. Погорелова.
   • Учебник геометрии j1. С. Атанасяна и Др.
   • Построить вектор, представляющий сумму
   • 4. Методика обучения решению задач с помощью векторов
   • 1. Дан многоугольник abcde. Представьте ad в виде суммы: а) двух; б) I рёх; в) четырех векторов, заданных вершинами этого многоугольника.
   • Представьте вектор ав в виде суммы векторов ас, dc , bd .
   • Вектор cDколлинеарен вектору ав и Выразите один век-
   • Четырехугольник abcd - квадрат. Упростите выражение { ав - 3 вс)2,
   • VI. Упражнения на нахождение длины вектора и величины угла меж­ду векторами.
   • Какие действия с векторами изучаются в школьном курсе геометрии?
   • Б) в треугольнике лвс известны длины всех сторон. Определить его углы.
   • II кн. До н. Э.) уже фактически пользовался прямоугольными координатами.
   • Простейшие задачи в координатах на плоскости
   • Уравнения фигур на плоскости
   • 4. Особенности применения метода координат
   • 5. Методика формирования координатного метода решения задач
   • Решение (координатный метод)
   • Iэтап(оптимальный выбор прямоугольной системы координат). Выберем прямоугольную систему координат так, как показано на рис. 93.
   • Этап (перевод задачи на координатный
   • Так как м середина стороны вс, то л/
   • Этап (решение задачи на координат- ном языке).
   • Рекомендуемая литература
   • Значение тригонометрических функций в школьном курсе математики и различные подходы к их изложению
   • I ермипы «косинус», «котангенс» и др. Появились в XI—XVII вв.
   • Этапы изучения линии уравнений, неравенств и их систем в
   • Системы уравнений с двумя переменными, в которых
   • Цели и этапы изучения взаимного расположения прямых на
   • Различные подходы к введению понятии параллельности пря­