книга1

Графический метод

Построим в одной системе координат графики функций^ = д/ 1-х и ^2 = * (рис. 18).

А) На геометрическом языке решить уравнение д/l - х = х - это значит, найти абсциссы точек пересе- чения графиков указанных функций или установить, что таких точек нет.

Как видим из рисунка, корень уравнения единственный и он лежит в интервале (0; 1). Можно найти его приближённо по рисунку, если не требуется большой точности, или найти его аналитически, решив урав- нение 1 - х = х², то есть х² + х - 1 = 0. Решение дает два корня:

_-l + Vs -1 - т/5.

Xi ~ —, х₂ = —-.

2 2

Так как х₂ < 0 и не принадлежит интервалу (0; 1), то это посторонний корень. Как он получается, можно показать учащимся на рисунке. Прямая у₂ = х пересекается с графиком функции уз~ - д/l - х в точке с абсциссой х₂ (график функции^ на рис. изображен пунктиром).

Б-В) Для решения неравенства д/l- х >х (_Л/1 -~х: <х) замечаем, что

график функции у\ = л] 1-х лежит выше (ниже) графика функции у₂ = х на

интервале х < xi (xi < х < 1).

Преимущество графического метода решения в его наглядности. Во- первых, отпадает необходимость в дополнительных исследованиях по опре- делению постороннего корня х₂. Во-вторых, есть возможность наглядно по- казать учащимся, почему в результате решения уравнения д/l - х = х появля- ется посторонний корень х₂ и почему он отрицательный.

Пример 15. Решить неравенство д/х ^2 £ д/Зх -6.

Решение./. Алгебраический метод

Найдем ОДЗ: \х - 2 > О,

[Зх-6>0.

Решая данную систему неравенств, получаем: х > 2.

Возведем обе части неравенства в квадрат:

х — 2 > Зх - 6, откуда х < 2.

Сравнивая полученное решение с ОДЗ, имеем: х = 2.

О т в е т: х = 2.

Содержание