книга1

Графический метод

Построим в одной системе координат графики функцийу\ = д/х - 2 и у₂ = д/Зх - 6 (рис. 19).
Используя рисунок, найдем те значения х, при которых график функ-

ции у\ расположен не ниже графика функ- ции у2- Очевидно, что при х > 2 функция у\ = д/х-2 принимает значения, меньшие значений функции у₂ = д/Зх - 6 (график функции при х > 2 расположен ниже графика функции у₂). При х = 2 значения функций равны (графики функций имеют общую точку).

О т в е т: х = 2.

Пример 16. Решить неравенство Jx-2 + 3 < -.

Часто подходя к решению неравенства формально, учащиеся преобразуют его и приходят к неравенству третьей степени х³ - 11х² + 12х - 4 < 0, которое они не могут решить без специальной подготовки.

Данное неравенство можно решить и методом оценки его левой и правой частей. Учитывая ОДЗ: х > 2, замечаем, что левая часть неравенства всегда больше или равна 3, а правая - всегда меньше или равна 1, а это значит, что левая часть неравенства не может быть больше правой. Поэтому получаем ответ: решений нет.

Графический метод

Построим в одной системе координат графики функций:

у\-Jx-2 + 3 иу₂ = — (рис. 20).

Область определения первой функции: х > 2. Графиком второй функции является гипербола. Функ- ция^ х- 2 + 3 возрастающая на всей области определения (то есть

при х > 2), а функция у₂ = — убы-

вающая на этом же промежутке. Графики функций, как видно из ри- сунка, не имеют точек пересечения, так как самая нижняя точка графика функции ух есть точка (2; 3), а ветвь 2

гиперболы у₂ = - при х > 0 располо-

жена ниже координат этой точки.

Ветвь гиперболы при х < 0 рассматривать нет смысла, так как функция ух при х < 0 не существует.

Из рисунка видно, что график функции у₂ = — при х > 2 всегда распо-

Рис. 20

ложен ниже графика функции у\ =^ х - 2 + 3, это значит, функция ух не может принимать значения, большие значений функции^? поэтому данное неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет.

Как видим, графический метод сопровождается здесь рассуждениями, обоснованиями своих выводов, сделанных на основе рисунка, что положительно сказывается на развитии мышления учащихся и предупреждает формализм, присущий иногда алгебраическому методу решения подобных неравенств.

Рассмотрим пример иррационального неравенства, содержащего корень третьей степени.

Пример 17. Решить неравенство \j х² + 8 >2-х.

Решение./. Алгебраический метод

ОДЗ: х-любое.
Возведем в куб обе части неравенства и преобразуем его:

х² + 8 > 8 - 12х + 6х² - х³, х³ - 5х²+ 12х > 0, х(х² - 5х + 12) > 0.

Разложим на множители квадратный трехчлен х² - 5х + 12. Для этого решим уравнение х² - 5х + 12 = 0. Дискриминант уравнения Д = 25 - 48 = -23, -23

0, значит, трехчлен х² - 5х + 12 > 0 при любом значении х (ветви параболы нааправлены вверх, и она не пересекается с осью ОХ).

Так как х² — 5х + 12 > 0 при любом х, то решением неравенства

х(х² - 5х + 12) > 0 будет промежуток х > 0.

О т в е т: х > 0.

V У*

\4-

1 |

1 2 1 ~ 1

1 1 «V t 1

• 1 1

1 1 1 1 ^ л -4 2 0.

Рис

1 1 L 1 tO 4^- Ю

1. Построим в одной системе коор- динат графики функций (рис. 21)

У1 = \]x?+S иу₂ = 2-

-X.

Графиком первой функции являет- ся кривая, симметричная относительно оси OY, с вершиной в точке (0; 2). Гра- фиком второй функции является прямая, проходящая через точку (0; 2).

2. Из рисунка видно, что график функции у\ расположен выше прямой у₂ ~ 2 — х при х>0 .

Отв ет:х>0.

Интеграция алгебраического и геометрического (графического) мето-

дов особенно необходима при решении иррациональных уравнений и нера- венств с параметром. Здесь она часто выступает в виде единства, слияния данных: методов в одном методе. Приведем пример.

Пример 18. Решить неравенство х - ^ а-х² > 1.

Решение. Графический метод

Преобразуем данное неравенство к виду х - 1 > у[а- х² .
Построим в одной системе координат графики функций: у\=х- 1 и

У2 =

х². Графиком первой функции является прямая, графиком второй

функции - полуокружность (расположенная в верхней полуплоскости) с центром в точке х = 0 и радиусом Ja (рис. 22).

Очень важно построить на одном и том же чертеже график у₂ при различных значениях параметра а. Тогда легко заметить, что графики у\ и у₂ пересекаются, т.е. данное уравнение имеет действительное решение х₀, если а> 1.

Если а~ 1, то решение х₀ = 1 и оно единственно.

Если а > 1, решение уравнения также единственно и оно лежит в интервале (1; Ja).

Решением данного неравенства являются те значения х, при которых график функции ух (прямая) лежит выше графика функции у₂ (полуокружности). Рисунок показывает, что х₀ < х < .

Решив уравнение

: - д/ а - х² — 1,

получаем два корня: Х\ = , я₂ = — . х₂ - посторонний ко-

\ + ^2a-l _ l-^2a-l

^,Х2 2

рень, так как он не входит в интервал (1; /я). Итак, решением данного нера венства является промежуток [-⁺- —-,-у[а]. Следует заметить, что с увеличением а он увеличивается.

Графический метод в данном случае содержит в себе и элементы аналитического метода (решение уравнения). Он требует от учащихся более высокого уровня образного мышления, умение представить графическую модель в динамике в зависимости от изменений параметра а.

Ещё большую эффективность графический метод имеет при решении уравнений и неравенств, содержащих модуль. Рассмотрим этот вопрос подробнее.

4 Уравнения и неравенства, содержащие модуль

В школьном курсе математики часто встречаются уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля). Для решения таких уравнений и неравенств необходимо разбить числовую ось на отдельные промежутки так, чтобы на каждом из них можно было записать уравнение (неравенство), не используя знака абсолютной величины.

Аналитический метод решения уравнений и неравенств, содержащих модуль, требует часто утомительных рассмотрений уравнения или неравенства на интервалах знакопостоянства функций, стоящих под знаком модуля. Причем, полученный на каждом интервале результат необходимо постоянно проверять, входит он в заданный интервал или нет (что часто забывают делать учащиеся). Поэтому наиболее эффективен при решении подобных уравнений и неравенств графический метод. Обучение при этом целесообразно вести одновременно аналитическому и графическому методам, что позволит проводить их сравнение, выбор среди них наиболее рационального. Графический метод будет способствовать к тому же осознанию и осмыслению решений уравнения (неравенства), полученных аналитическим путем.

Начинать обучение следует с решения простейших уравнений и неравенств, содержащих модули, предварительно познакомив учащихся с построением графиков функций у = \ х \, у = \ fa + b \, у = \ ах² + Ьх + с \ и др.

Рассмотрим примеры.

Пример 19. Решить уравнение | Зх + 21 = 1.

Решение./. Алгебраический метод

Приравняем к нулю выражение, стоящее под знаком модуля:

Зх + 2 = 0, откудах =

Разобьем всю числовую ось на два промежутка (-оо;--)и(--;+оо).

Содержание