I. Основные типы преобразований и этапы их изучения
11чучение различных преобразований выражений и формул занимает нищ.шую часть учебного времени в курсе школьной математики. Простейшие ^"«образования, опирающиеся на свойства арифметических операций, произ- 1Ч-.Я уже в начальной школе. Но основную нагрузку по формированию умений и навыков выполнения преобразований несет на себе курс школьной алгебры 1 >то связано:
с резким увеличением числа совершаемых преобразований, их разно- оПришсм;
с усложнением деятельности по их обоснованию и выяснению условий применимости;
i ) с выделением и изучением обобщенных понятий тождества, тождественного преобразования, равносильного преобразования, логического следования.
Линия тождественных преобразований получает следующее развитие в курсе алгебры основной школы:
,4 б классы - раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, выне- М(Чшо множителя за скобки;
7 класс - тождественные преобразования целых и дробных выражений;
Н класс - тождественные преобразования выражений, содержащих квад- с корни;
(> класс - тождественные преобразования тригонометрических выражений и ммрижсний, содержащих степень с рациональным показателем.
11собходимо заметить, что у разных авторов учебников эта последова- К'Щ.иость имеет свои особенности.
Линия тождественных преобразований является одной из важных идейны ч линий курса алгебры. Поэтому обучение математике в 5-6 классах строится niKiiM образом, чтобы учащиеся уже в этих классах приобрели навыки простейших тождественных преобразований (без употребления термина «тождест- неиные преобразования»). Эти навыки формируются при выполнении упражнении на приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок и заключение в
29
скобки, вынесение множителя за скобки и т.д. Рассматриваются также простейшие преобразования числовых и буквенных выражений. На этом уровне обучения осваиваются преобразования, которые выполняются непосредственно на основе законов и свойств арифметических действий. Так в 5 классе изучаются законы и свойства действий над неотрицательными числами: а + b = Ъ + а; (а + Ъ) + с = а + (Ь + с); а - Ь-Ъ ■ а; а + 0 = а; О + а = а\ (а ■ Ь) • с = а ■ (Ь ■ с); а • 1 = а; 1 ■ а-а; а ■ (Ь + с) - ab + ас; а - 0 = а; а-а = О и др. К основным видам задач в 5-6-х классах, при решении которых активно используются свойства и законы арифметических действий и через которые формируются навыки тождественных преобразований, относятся: обоснование алгоритмов выполнения действий над числами изучаемых числовых множеств; вычисление значений числового выражения наиболее рациональным способом; сравнение значений числовых выражений без выполнения указанных действий; упрощение буквенных выражений; доказательство равенства значений двух буквенных выражений и т.д. Примеры. Представьте число 153 в виде суммы разрядных слагаемых; в виде разности двух чисел, в виде произведения двух чисел. Представьте число 27 в виде произведений трех одинаковых множителей. Эти упражнения на представление одного и того же числа в разных формах записи содействуют усвоению понятия о тождественных преобразованиях. Вначале эти представления могут быть произвольными, в дальнейшем - целенаправленными. Например, представление в виде суммы разрядных слагаемых используется для объяснения правил сложения натуральных чисел «столбиком», представление в виде суммы или разности «удобных» чисел - для выполнения быстрых вычислений различных произведений, представление в виде произведения множителей - для упрощения различных дробных выражений. Найдите значение выражения 928 • 36 + 72 • 36. Рациональный способ вычисления значения данного выражения основан на использовании распределительного закона умножения относительно сложения: 928 • 36 + 72 • 36 = (928 + 72) • 36 = 1000 • 36 = 36000. В школьном курсе математики можно выделить следующие этапы освоения применений преобразований буквенно-числовых выражений и формул. этап. Начала алгебры. На этом этапе используется нерасчлененная система преобразований; она представлена правилами выполнения действий над одной или обеими частями формулы. Пример. Решить уравнения: а) 5х - Ъх = 2; б) 5х = Зх + 2; в) 6 (2 — 4у) + 5у = 3 (1 — Зу). Общая идея решения состоит в упрощении данных формул с помощью нескольких правил. В первом задании упрощение достигается при помощи применения тождества: 5х - Ъх = (5 - 3)х. Основанное на этом тождестве тожде- 30
« I пенное преобразование переводит данное уравнение в равносильное ему уршшомие 2х — 2. Второе уравнение требует для своего решения не только тождественного, но н ринноеильного преобразования; в таком качестве здесь используется пра- ||н по переноса членов уравнения из одной части уравнения в другую с измененном шика. В решении уже такого простого задания, как б), используются оба пн in преобразований - и тождественное, и равносильное. Это положение со- чриниотся и для более громоздких заданий, таких, как третье. Моль первого этапа - научить быстро решать простейшие уравнения, упрощать формулы, задающие функции, рационально проводить вычисления с опорой на свойства действий. тит. Формирование навыков применения конкретных видов преобразова- IItilt 11онятия тождества и тождественного преобразования явно вводятся в курсе шн'сбры 7 класса. Так, например, в учебнике Ю. Н. Макарычева «Алгебра 7» [6] ннп'шле вводится понятие тождественно равных выражений: «Два выражения, соответственные значения которых равны при любых значениях переменных, шпыняются тождественно равными», затем понятие тождества: «Равенство, парное при любых значениях переменных, называется тождеством». 11риводятся примеры: !) Цх I-у) и Зх + Зу- тождественно равные выражения; 2х + у и 2ху не являются тождественно равными выражениями; I )а Ь2 = (а - Ъ){а + Ь)~ тождество; I) \ 4х + 4 = (х - 2)2 - тождество. ' I 'ождествами считают и верные числовые равенства: a + b = b +а; (п ' Ь) + с~~а + (Ь + с); ab= ba; (ab) с = а (Ьс); а + 0 = а; а + (-а) = 0; и b~a -I- (-6); а-1+а; a-(-b) = -ab; (-а) ■ (-b) = ab и т.д. В учебнике А.Г. Мордковича «Алгебра 7» [14] приводится сразу и уточненное понятие тождества: «Тождество - это равенство, верное при любых допустимых значениях входящих в его состав переменных». 11ри введении понятия тождественного преобразования следует прежде всего покичать целесообразность изучения тождественных преобразований. Для этого можно рассмотреть различные упражнения на нахождение значения выражений. liiiipiiMep, найти значение выражения 37,1х + 37,ly при х = 0,98, у = 0,02. Ис- пошлуя распределительное свойство умножения, выражение 37,1л + 37,1 у можно щмоиить выражением 37,1(х + у), тождественно равным ему. Ещё более впе- чи глист1 решение следующего упражнения: найти значение выражения (</I />)—(а—6)_ при. а)д = з>^ = 2; б) а = 121, Ъ - 38; в) а = 2,52, Ъ= 1 —. ab 9 11осле проведенных преобразований оказывается, что множество значений это- ю ныражения состоит из одного числа 4. В учебнике Ю. Н. Макарычева «Алгебра 7» [6] введение понятия тождест- игппого преобразования мотивируется рассмотрением примера: «Чтобы найти значение выражения ху--да при х = 2,3; у = 0,8; z = 0,2, надо выполнить 3 действия: ху — xz = 2,3 • 0,8 — 2,3 • 0,2 = 1,84 - 0,46 = 1,38. 31
Мп одика изучения этих новых преобразований практически не отличается от применяемой в курсе алгебры. 11собходимо отметить один тип преобразований, специфический для кур- ш алгебры и начал анализа. Это преобразования выражений, содержащих пре- переходы, и преобразования, основанные на правилах дифференциро- пниия и интегрирования. Основное отличие этих «аналитических» преобразо- ИНИИЙ от «алгебраических» преобразований состоит в характере множества, ко- трое пробегают переменные в тождествах. В алгебраических тождествах переменные пробегают числовые области, а в аналитических этими множествами ■шляются определенные множества функций. Например, правило дифференци- роишшя суммы: (Z'+g)' здесь/и g- переменные, пробегающие множе- I I но дифференцируемых функций с общей областью определения. Внешне эти преобразования сходны с преобразованиями алгебраического типа, поэтому иногда говорят «алгебра пределов», «алгебра дифференцирования». Тождества, изучаемые в школьном курсе алгебры и алгебраическом май-риале курса алгебры и начал анализа, можно разделить на два класса. Первый состоит из тождеств сокращенного умножения, справедливых в ав в . iiioGom коммутативном кольце, и тождества —=-,а*0, справедливого в лю- ас с Оом поле. Второй класс образован тождествами, связывающими арифметические чнграции и основные элементарные функции, а также композиции элементар- Hhix функций. Большинство тождеств этого класса также имеет общую математическую основу, состоящую в том, что степенная, показательная и логарифмическая функции являются изоморфизмами различных числовых групп. Например, имеет место утверждение: существует единственное непрерывное изоморфное отображение / аддитивной группы действительных чисел в мультипликативную группу положительных действительных чисел, при котором единица о тображается в заданное число а> 0, а Ф 1; это отображение задается по- инательной функцией с основанием а: /(х) = а. Аналогичные утверждения имеются и для степенной и логарифмической функций. Методика изучения тождеств обоих классов обладает многими общими чгртами. В целом тождественные преобразования, изучаемые в школьном курсе математики, включают: преобразования алгебраических выражений; преобразования выражений, содержащих радикалы и степени с дробим ми показателями; преобразования тригонометрических выражений; преобразования выражений, содержащих степени и логарифмы; преобразования выражений, содержащих предельные переходы, и преобразования, основанные на правилах дифференцирования и интегрирования. 33
- Цели, содержание и структура курса математики 5-6 классов
- Значение и место учения о числе в курсе математики общеобразовательной школы
- 5 Класс
- 6 Класс
- 3. Различные пути расширения понятия числа
- 4. Методика изучения натуральных чисел
- 4. Методика изучения натуральных чисел
- 5. Основные вопросы методики изучения дробей
- 5. Основные вопросы методики изучения дробей
- 6. Методика изучения положительных и отрицательных чисел
- I. Основные типы преобразований и этапы их изучения
- III этап. Организация целостной системы преобразований (синтез).
- Буквенной части слагаемых пока остается первой.
- 1. Содержание и роль линии уравнений и неравенств в современном школьном курсе математики
- 2. Основные понятия линии уравнений и неравенств
- I * hi лаже он и возникает по ходу обсуждения процесса решения, то ответ на не-
- Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
- * Последовательность изучения линии уравнений и неравенств
- I )гапы изучения линии уравнений, неравенств и их систем в основной школе
- 1* Курсе математики 5 класса понятие уравнения трактуется аналогично.
- Основные классы неравенств изучаются сразу вслед за изучением со- »»I мотствующих классов уравнений.
- I Ъшить уравнение - это значит найти все его корни или установить, что их нет.
- Решение квадратных уравнений и неравенств
- Il Графический метод (I способ)
- Графический метод
- Системы уравнений с двумя переменными, в которых одно или оба уравнения второй степени
- Графический метод
- Графический метод
- Графический метод
- Графический метод
- Графический метод
- Графический метод
- Il Графический метод
- Il Графический метод
- Графический метод
- Графический метод
- Графический метод
- Графический метод
- 1. Цели обучения решению текстовых задач
- 2. Пропедевтика алгебраического и геометрического методов решения текстовых задач
- 3. Этапы решения задач на составление уравнений и их реализация
- Этап {перевод задачи на геометрический язык).
- Этап (решение задачи на геометрическом языке).
- 1. Из истории введения понятия функциональной зависимости в школьный курс математики
- 2. Различные трактовки понятия функции
- 3. Методика введения понятия функции
- Этап. Мотивация введетя понятия.
- Исследовать функцию на основные свойства.
- Использовать изученные свойства функций при решении различных задач, в частности уравнений и неравенств.
- Влияние коэффициентов hub на поведение функции
- Взаимное расположение графиков линейных функции
- Б. Интеграция аналитического и графического методов в изучении квадратичной функции
- 1. Цели и задачи курса геометрии основной школы
- 2. Содержание обучения геометрии в 7-9 классах
- 3. Логические основы изложения геометрии в 7-9 классах
- Аксиомы принадлежности
- Аксиомы порядка
- Аксиомы измерения отрезков и углов
- Рекомендуемая литература
- 1. Методика изучения основных свойств простейших геометрических фигур
- 1. Учебник а. В. Погорелова: § 1 «Основные свойства простейших геометрических фигур»,
- Определения «через ближайший род и видовые отличия»
- Измерение отрезков и углов
- 3. Учебник а. Д. Александрова и др,: глава I «Начала геометрииж
- 2. Методика формирования геометрических понятий
- 3, Обучение решению задач на первых уроках геометрии
- II группа
- 1. Различные подходы к формированию понятия равенства фигур
- Что нужно знать, чтобы утверждать равенство треугольников abc и dek1
- На рисунке 55 изображено два равных треуголь- ника. Написать равенство этих треугольников, обозначив их вершины.
- Если разносторонние треугольники abc и dkm
- 11Ри иодом пример.
- I (сн тральное место в изучении равных треугольников занимают признаём риионота треугольников.
- Доказательство:
- Доказательство:
- Треугольники вас и cdb равны. Напишите все соотношения, из ко- торых следует равенство указанных треугольников.
- Напишите соотношение между элемен- тами треугольников abc и adc, из которых следовало бы их равенство.
- Какие методические подходы существуют к введению понятия ранено гва фигур в школьном курсе геометрии? Какой подход, на Ваш взгляд, милмется наиболее удачным?
- В чем особенности введения понятия равных треугольников в разных учебниках геометрии?
- Приведите примеры упражнений на усвоение понятия равных треугольников.
- I. Цели и этапы изучения взаимного расположения прямых на плоскости
- 1 Различные подходы к введению понятия параллельности прямых на плоскости.
- I. Методика изучения признаков параллельности прямых.
- 1, Цели и этапы изучения взаимного расположения прямых на плоскости
- 2. Различные подходы к введению понятия параллельности прямых на плоскости
- 4. Методические замечания к изучению перпендикулярности прямых на плоскости
- В данной плоскости через точку вне данной прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной.
- Сумма внутренних углов треугольника равна 2d.
- 1. Различные подходы к изучению многоугольников
- 2. Методика изучения четырехугольников
- Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны,
- Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечении делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм.
- Какие из систем неравенств задают на плоскости трапецию и почему? Покажите штриховкой множество точек плоскости, заданное системой неравенств:
- 1 H найти площадь трапеции.
- 1, Имеет1 ли ось симметрии фигура, заданная системой неравенств:
- Верно ли утверждение: а) любой правильный многоугольник является выпуклым; б) любой выпуклый многоугольник является правильным?
- Чему равны градусные меры углов: а) правильного пятиугольника; б) правильного двенадцатиугольника; в) правильного тридцатишестиугольника?
- Множество направленных отрезков плоскости.
- Множество классов направленных отрезков плоскости.
- Множество параллельных переносов плоскости.
- Начертите равнобочную трапецию: а) существуют ли векторы, определяемые её вершинами и равные по длине? б) Сколько пар сонаправленных векторов задают вершины трапеции?
- Сколько пар сонаправленных (противоположно направленных) векторов определяют вершины параллелограмма?
- Начертить параллелограмм, обозна- чить его вершины и написать все равные ме- жду собой векторы, началом и концом кото- рых являются вершины параллелограмма.
- Векторы а и ъ равны, что следует из этого?
- 3. Методика изучения действий с векторами
- II. Умножение вектора на число
- Учебник геометрии а. В. Погорелова.
- Учебник геометрии j1. С. Атанасяна и Др.
- Построить вектор, представляющий сумму
- 4. Методика обучения решению задач с помощью векторов
- 1. Дан многоугольник abcde. Представьте ad в виде суммы: а) двух; б) I рёх; в) четырех векторов, заданных вершинами этого многоугольника.
- Представьте вектор ав в виде суммы векторов ас, dc , bd .
- Вектор cDколлинеарен вектору ав и Выразите один век-
- Четырехугольник abcd - квадрат. Упростите выражение { ав - 3 вс)2,
- VI. Упражнения на нахождение длины вектора и величины угла между векторами.
- Какие действия с векторами изучаются в школьном курсе геометрии?
- Б) в треугольнике лвс известны длины всех сторон. Определить его углы.
- II кн. До н. Э.) уже фактически пользовался прямоугольными координатами.
- Простейшие задачи в координатах на плоскости
- Уравнения фигур на плоскости
- 4. Особенности применения метода координат
- 5. Методика формирования координатного метода решения задач
- Решение (координатный метод)
- Iэтап(оптимальный выбор прямоугольной системы координат). Выберем прямоугольную систему координат так, как показано на рис. 93.
- Этап (перевод задачи на координатный
- Так как м середина стороны вс, то л/
- Этап (решение задачи на координат- ном языке).
- Рекомендуемая литература
- Значение тригонометрических функций в школьном курсе математики и различные подходы к их изложению
- I ермипы «косинус», «котангенс» и др. Появились в XI—XVII вв.
- Этапы изучения линии уравнений, неравенств и их систем в
- Системы уравнений с двумя переменными, в которых
- Цели и этапы изучения взаимного расположения прямых на
- Различные подходы к введению понятии параллельности пря