книга1

3. Методика изучения действий с векторами

Рассмотрим, как изучаются в разных учебниках действия с векторами.

L Сложение и вычитание векторов

L Учебник геометрии А. В. Погорелова.

Как уже отмечалось нами, в этом учебнике в качестве определений ис- пользуются координатные модели. Поэтому сумма векторов, произведение век- тора на число, скалярное произведение векторов определяются через координа- ты этих векторов. Однако вслед за координатным определением в учебнике до- казывается теорема, вскрывающая геометрическую суть векторного отношения.

Суммой векторов а (а\\ а₂) и Ь(Ъ\, Ъ₂) называется вектор с (а\ + Ъ\\ а₂ + Ь₂).

Из определения суммы векторов, признака равенства векторов и свойств сложения действительных чисел следуют все свойства сложения векторов.

Такое определение суммы векторов позволяет легко обосновать свойства сложения векторов, но оно не указывает способа построения суммы двух данных векторов. Один из таких способов дает теорема:

Теорема. Каковы бы ни были точки А, В, С имеет место равенство АВ + ВС = АС,

(Следует заметить, что, говоря о построении суммы двух векторов, мы имеем в виду построение направленного отрезка, изображающего вектор- сумму этих векторов.)

В процессе доказательства теоремы устанавли- вается, что формула АВ + ВС ~ АС (рис. 80) выра- жает так называемое «правило треугольника» для

Рис. 80 / * -

сложения векторов (отрезок, изображающий вектор-

сумму, является стороной треугольника ABC, «замыкающей» ломаную ABC).

224

Изучение законов сложения векторов можно начать с выполнения соот- ветствующих заданий. Например, известно, что три точки О, А, В не лежат на одной прямой. Построить сумму векторов О А и следующими двумя способами: а) О А сложить с ОВ; б) ОБ сложить с О А.

Сравнивая результаты, полученные при выполнении этой работы двумя способами, учащиеся приходят к выводу: получен один и тот же вектор-сумма. < лсдовательно, для сложения векторов имеет место переместительный закон. Доказательство соответствующей теоремы можно предложить учащимся изу- чить по учебнику, а затем записать его на доске и в тетрадях.

Переместительное свойство сложения векторов обосновывает второй спо- гоГ> построения суммы двух векторов «правило параллелограмма», а сочетатель- ное свойство позволяет ввести понятие сложения нескольких векторов.

Разностью векторов а {а\\ а₂) и b(b\; Ь₂) называется векторе (cj; с₂) такой, что с + Ь = а. Обозначается с = а - b , тогдас_{ = а\ -b_h с₂^а₂-Ъ_ъ

Следует заметить, что способ построения разности двух векторов рас- смотрен здесь в задаче, поэтому решение этой задачи необходимо обсудить с У'ШЩИМИСЯ.

Задача, Даны векторы с общим началом: АВ и АС. Докажите, что

АС - АВ = ВС.

Решение. Имеем АВ + ВС = АС, а это значит, что АС-АВ = ВС.

Отсюда получается правило для построения разно-

ly ' сти двух векторов. Чтобы построить вектор, равный разно- £ сти векторов а и b, надо отложить их от одной точки, то-

гда вектор, направленный от вычитаемого к уменьшаемому и будет вектором разности а и Ъ (рис. 81).

2. Учебник геометрии JI. С. Атанасяна и др.

Сумма векторов определяется в этом учебнике следующим образом.

Пусть а и b - два вектора. Отметим произвольную точку А и отложим

и пой точки вектор АВ, равный а. Затем от точки В отложим вектор ВС, ринный b . Вектор АС называется суммой векторов а и Ъ .

Такое определение суммы векторов обладает хорошей наглядностью, -нм ко может быть мотивировано рассмотрением примера на перемещение ма- и'рмапмюй точки. Однако при этом громоздким является обоснование свойств » ножения векторов и независимости векторов от выбранной точки.

Вычитание векторов авторы определяют как действие, обратное сложению. Важное место здесь занимает теорема о том, что для любых векторов а и /• гмрлиедливо соотношение а - Ъ= а +(-&). Эта теорема дает способ по-

I роения разности векторов: чтобы вычесть из вектора а вектор b, надо сло- 'пнм, иск гор а с вектором, противоположным вектору Ъ .

225

Содержание