logo
книга1

Графический метод

Построим в одной системе координат графики функций уi = х3 и у2 = ~-

X

(рис. 16). Из рисунка видно, что графики функций не имеют точек пересече­

ния, значит, уравнение х'

неравенства.

.з _

  • не имеет корней. Решаем соответствующие

х

87

5

-t—I i'-+

График функции y\ = x3 располо­жен выше графика функции у2 = --

х

1 5

при х > О, значит, неравенство х > —

х

выполняется при х > 0. Аналогично, по рисунку видим, что график функции

-5

у\ - х3 расположен ниже графика функ­ции^ “ при х < 0.

Рис. 16

Таким образом, графический метод подтверждает отсутствие корней у дан­

ного уравнения и наглядно показывает решения соответствующих нера­венств. Учащиеся, сопоставляя оба метода решения, приходят к выводу:

L Если уравнение, содержащее степень, не имеет корней, то гео­метрически это означает, что графики функций, стоящих в левой и пра­вой частях уравнения, не имеют общих точек, т.е. не пересекаются и не совпадают. Верно и обратное: если графики функций, стоящих в левой и правой частях уравнения, содержащего степень, не имеют общих точек, то данное уравнение не имеет корней.

Среди уравнений, содержащих степень, часто встречаются такие, в ко­торых переменная содержится под знаком радикала, то есть входит в подко­ренное выражение. Такие уравнения называются иррациональными. Одно из таких уравнений мы уже рассмотрели в примере 12. Так как интеграция ал­гебраического и графического методов при решении иррациональных урав­нений и неравенств имеет особое значение, то рассмотрим этот вид уравне­ний и неравенств подробнее.

Мотивацию введения понятия иррационального уравнения можно про­вести путем решения задачи.

Задача. В треугольнике ABC (рис. 51) BD перпендикулярно AC, AD = 2 см, DC = 5 см, АВ + ВС = 9 см. Найти BD.

  • такое уравнение называется иррациональным, затем формулируется определение самими учащимися или учителем.

ОпределениеУравнение, в котором переменная входит в какое-либо выражение, стоящее под знаком корня, называется иррациональным.

Мы не будем подробно останавливаться на алгебраических методах

В

Решение.

Пусть длина отрезка BD равна х см.

Тогда АВ = л]х2+4 и ВС = /х2 + 25 .

По условию задачи

А 2 D

5

С

Рис. 17

Учащиеся видят, что получилось уравнение, в котором, переменная входит в подкоренное выражение. Вводится термин

решения иррациональных уравнений, так как они описаны в учебниках и учебных пособиях для учащихся и абитуриентов, а ограничимся лишь их пе­речислением: 1) метод введения вспомогательных переменных, в результате чего решение иррационального уравнения сводится к решению систем урав­нений, уже не содержащих радикалов; 2) метод изолирования (уединения) радикала и возведения обеих частей уравнения в степень, в результате чего приходим к уравнению, не содержащему радикалов или содержащему их меньшее число; 3) метод умножения обеих частей уравнения на выражение, сопряженное одной из его частей, и использования свойств монотонности функций.

Наиболее часто в школьной практике используется второй метод.

Следует заметить, что решение иррациональных уравнений и нера­венств имеет свои особенности (опасности), в отличие от ранее рассмотрен- ных видов уравнений и неравенств, заключающиеся в том, что в ходе выпол­нения преобразований данного уравнения может быть появление посторон­них корней или потеря корней. Поэтому необходима постоянная проверка полученных результатов и контроль выполняемых действий. Здесь интегра­ция алгебраического и геометрического (графического) методов в виде их сочетания или единства в одном методе не только желательна, но и необхо­дима. Приведем примеры.

Пример 14. Решить уравнение yjl-x = х и соответствующие ему неравенства д/ 1 > х и д/ 1-х <х.

Решение./. Алгебраический метод

А) Решим сначала уравнение д/l - х = х.

L Найдем ОДЗ:

  1. Сравним полученные результаты с ОДЗ. Как видим, х2 < 0, поэтому он является посторонним корнем.

Б) Решим неравенство д/l - х > х.

Данное неравенство равносильно совокупности двух систем рацио­нальных неравенств:

1 - х > О, х > О,

откуда 0 < х < 1.

  1. Возведем обе части уравнения в квадрат:

  1. - х = х2.

  1. Решим полученное уравнение:

2 , 1 л ”1 + J~5

х + х - 1 = 0, откуда Xi = —, х2 =

2

89