4. Методические замечания к изучению перпендикулярности прямых на плоскости

Учение о перпендикулярности прямых в средней школе, имеет в своей основе понятие угла между прямыми и умение измерять величину угла.

Случай перпендикулярных прямых появляется при рассмотрении пересе­кающихся прямых в 7 классе. Величину наименьшего из углов, образованных

двумя пересекающимися прямыми, считают углом между ними. Поэтому вели­чина угла между пересекающимися прямыми не может превосходить 90°. В том случае, если угол между прямыми равен 90° (равен прямому углу), прямые называются перпендикулярными (перпендикуляр в переводе с лат. -«отвес»). Прямые, следовательно, будут перпендикулярны в том и только в том случае, если угол между ними равен 90°.

Две пересекающие прямые образуют четыре угла. Если один из этих уг­лов прямой, тогда любой из остальных трех углов будет либо смежным с этим углом, либо вертикальным с ним. Отсюда следует, что если один из углов пря­мой, то остальные углы тоже прямые. В этом случае говорят, что прямые пере­секаются под прямым углом.

Поэтому в учебнике А. В. Погорелова дается следующее определе­ние перпендикулярных прямых: две прямые называются перпендикуляр­ными, если они пересекаются под прямым углом.

В учебнике J1. С. Атанасяна и др. дается такое определение: две пе­ресекающиеся прямые называются перпендикулярными (или взаимно пер­пендикулярными), если они образуют четыре прямых угла.

При введении понятия перпендикулярных прямых правильному его вос­приятию и более прочному запоминанию его определения помогает обра­щение к окружающей действительности, опора на жизненный опыт учащихся. Примеры перпендикулярных прямых в окружающей жизни убеждают уча­щихся в их существовании, в их большой значимости для практики, а зна­чит, помогают создать правильное представление у них о природе этого понятия — о возникновении его на основе практической деятельности лю­дей.

После определения перпендикулярных прямых вводится соответствующая символика, проводится обучение учащихся использованию введенной символи­ки при выполнении записей, а также обучение чтению записей, в которых ис­пользуется символика. Перпендикулярность прямых обозначается знаком -L. Запись a _L в читается: «Прямая а перпендикулярна прямой в».

Существование перпендикулярных прямых показывается конструктивно. В учебнике Л. С. Атанасяна (и др.) решается задача.

Задача h Дана прямая а и точка на ней. Построить прямую, проходя­щую через данную точку и перпендикулярную данной прямой.

Способ решения этой задачи основан на свойстве медианы равнобедрен­ного треугольника, проведенной к его основанию.

Знакомство учащихся со способом построения перпендикуляра к пря­мой, проходящего через точку вне этой прямой, осуществляется также через решение задачи. В учебнике JI. С. Атанасяна и др. это задача № 153.

Задача 2. Дана прямая а и точка М, не лежащая на ней. Постройте пря­мую, проходящую через точку Ми перпендикулярную к прямой а.

Решение основано на использовании двух окружностей равных радиусов и свойстве биссектрисы равнобедренного треугольника, проведенной к его ос­нованию.

В учебнике А. В. Погорелова доказывается теорема: через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну. Доказа­тельство теоремы ведется методом от противного.

По учебнику JI. С. Атанасяна и др. в 7 классе, а по учебнику А. В. Погоре­лова в 8 классе вводятся понятия перпендикуляра и наклонной к прямой.

Определение. Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок пря­мой, перпендикулярной данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения. Этот конец отрезка называется основанием перпендикуляра.

Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую, называ­ется расстоянием от точки до прямой.

В разделе о перпендикулярности прямых на плоскости рассматривается понятие наклонной к данной прямой. Поскольку через данную точку проходит только один перпендикуляр к данной прямой, то все остальные прямые, про­ходящие через эту точку (кроме прямой, параллельной ей), называют наклон­ными к данной прямой.

В беседе с учащимися следует четко подчеркнуть, что через данную точ­ку к данной прямой можно провести сколько угодно наклонных, а перпендику­ляр только один.

Методом от противного доказывается следующая теорема: из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую пер­пендикуляр, и только один.

В восьмом классе вводится понятие серединного перпендикуляра к отрез­ку. Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему.

Затем доказывается теорема о серединном перпендикуляре к отрезку.

Теорема. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку рав­ноудалена от концов этого отрезка. Обратно: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Эта теорема состоит из двух теорем: прямой и обратной. Доказательство первой теоремы следует провести вместе с учащимися. Доказательство обрат­ной теоремы можно дать с пояснениями в качестве домашнего задания.

Постепенно в работе над понятием серединного перпендикуляра к отрез­ку выясняется, что прямая будет являться серединным перпендикуляром к от­резку в том и только том случае, если ее точки равноудалены от концов этого отрезка. В процессе такой работы формируются представления учащихся о не­обходимых и достаточных условиях, которые играют большую роль в дальней­шем построении курса математики средней школы.

Учащимся надо разъяснить, что формулировка теоремы со словами «в гом и только в том случае» или «тогда и только тогда» включает в себя две теоремы — прямую и обратную.

Большое значение для изучения последующих разделов курса геометрии и особенно для решения задач имеет установление взаимосвязи параллельности и перпендикулярности прямых, которая может быть раскрыта в процессе реше­ния соответствующих задач на доказательство.