книга1

2. Различные подходы к введению понятия параллельности прямых на плоскости

В учебной литературе по геометрии для средней школы представлена ришичная последовательность изучения разделов о параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости после введения понятий пересекающихся и мг пересекающихся прямых.

В учебнике А. В. Погорелова введение понятия параллельных прямых и инеиома параллельных прямых предшествуют изучению перпендикулярных прямых. Существование параллельных прямых на плоскости, признаки парал- моп.иых прямых, построение параллельных прямых с помощью циркуля и ли- мгПкн излагаются после изучения раздела о перпендикулярных прямых.
В учебном пособии по геометрии под ред. А. Н. Колмогорова изучается мппчпле параллельность прямых, хотя понятие перпендикулярных прямых, знакомое учащимся из курса математики 4-5 классов, используется ранее при и п'чении осевой симметрии.
В учебнике JI. С. Атанасяна и др. изучение взаимного расположения прямых на плоскости начинается с перпендикулярности прямых, а затем изла- I «имея раздел о параллельности прямых на плоскости.

Все названные пути вполне доступны для учащихся, хотя учение о пер- жчинкулярных прямых в логическом отношении проще для них, ближе к их онмIу. Понятие параллельности связано с бесконечностью, что само по себе минипся нелегким в средней школе. Большая роль при изучении раздела о взаимном расположении прямых отводится аксиоме: через любые две точки можно правее ты прямую и только одну.

1 \ начале изучения взаимного расположения прямых на плоскости це-

Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Прямые а и b имеют только одну общую точку А: а и b пересекаются

У прямых а и b все точки общие: а и b совпадают

Прямые а и Ъ не имеют общих точек: прямые а и b параллельны

Особо следует остановиться на том случае, когда все точки двух прямых общие, то есть прямые сливаются. Дальнейшее изложение материала зависит от принятого подхода в учебнике. Возможны два подхода.

Случай совпадения двух прямых не рассматривать в дальнейшем, как не представляющий интереса; если речь идет о двух прямых, то их всегда надо представлять себе различными; этот подход изложен в учебниках А. В. Погоре- лова, JL С. Атанасяна и др., А. П. Киселёва.
Две совпадающие прямые считают параллельными. Этот подход имеет место в учебном пособии по геометрии под ред. А. Н. Колмогорова.

Второй подход дает возможность на определенном этапе изучения геометрии в школе показать учащимся, что параллельность прямых входит в класс эквивалентности, однако само восприятие понятия параллельности прямых в этом случае для учащихся с чисто психологической точки зрения более затруднительно.

Учение о параллельности прямых в курсе планиметрии можно разделить на части: \

определение параллельных прямых;
существование параллельных прямых;
построение параллельных прямых;
аксиома параллельных прямых;
свойства параллельных прямых;
признаки параллельности прямых;
применение изученной теории к решению задач.

192

Две прямые называются параллельными, если они:
1) лежат в одной плоскости ) не пересекаются	лежат в одной плоскости не имеют общих точек	лежат в одной плоскости не имеют общих точек или совпадают

3. Методика изучения признаков параллельности прямых

Вопрос о существовании параллельных прямых в разных учебных посопим х решается неодинаково. Здесь можно выделить два подхода:

рассматривается специальная теорема, показывающая существование параллельных прямых, а затем дается аксиома параллельных (JI. С. Атанасян и др.);
рассматривается аксиома параллельных, а затем доказывается теорема, показывающая существование таких прямых (А. В. Погорелов).

Второй подход вызывает большие трудности, так как ряд рассуждений проводится на основе предположения, что такие прямые уже существуют, по-

193

этому при изучении теоремы необходимо сообщить учащимся, что построение параллельных прямых, аксиома параллельных и некоторые свойства парал- лельных рассматривались с учетом предположения, что параллельные прямые реально существуют.

Существование параллельных прямых обосновывается в школе двумя пу- тями, а именно: на основе центральной симметрии (В. Г. Болтянский, М. Б. Во- лович, А. Д. Семушин и др.) или на основе свойств углов, образованных при пе- ресечении двух прямых третьей (Л. С. Атанасян и др., А. В. Погорелов).

Доказательство теоремы везде ведется методом от противного, однако предложения, на основе которых делается окончательный вывод, различны: в одних случаях - это свойство двух различных прямых не иметь двух и более раз- личных общих точек; в других случаях - это свойство внешнего угла треуголь- ника не быть меньшим или равным внутреннему углу этого треугольника, не смежному с ним.

Доказательство теоремы опирается на представление учащихся о неограни- ченности и бесконечности прямой, поэтому теряется наглядность чертежа, возни- кает противоречие правильным интуитивным представлениям учащихся. Вслед- ствие этого чертежу необходимо уделить особое внимание при доказательстве теоремы, при изображении точки пересечения прямых желательно не делать из- ломов.

В практике школы большое распространение получили обоснования при- знаков параллельности прямых на основе сравнения углов, образуемых при пе- ресечении двух прямых третьей. Этот раздел не вызывает у учащихся особых затруднений, но следует заметить, что рисунок к введению этих понятий не должен отражать частных случаев: две прямые не должны изображаться парал- лельными, а секущая не должна быть к ним перпендикулярной.

Прямые а и Ъ разбивают плоскость на три части: две внешние и одну внутреннюю (рис. 64). Из восьми углов, образующихся при пересечении прямых а и Ъ прямой с, некоторые лежат по одну сторону от прямой с, другие - по разные стороны от прямой с. Некоторые из углов, расположенных по разные стороны от прямой с, получили название накрест лежащих; некоторые углы, расположенные по одну сторону от прямой с, получили название или односторонних, или соответственных. В зави- симости от того, в каких из частей расположены углы, различают внутренние и внешние накрест

^{Рис> 64} лежащие углы (3 и 6, 4 и 5, 1 и 8, 2 и 7), внутренние

или внешние односторонние углы (4 и 6, 3 и 5, 1 и 7, 2 и 8), соответственные углы (2 и 6, 1 и 5, 4 и 8, 3 и 7). Для лучшего запоминания углов, названные части, на которые разбивают плоскость прямые а и Ъ, можно закрасить на рисунке в различные цвета, а именно: внутреннюю часть закрасить одним цветом, а внешние части другим цветом. В итоге следует записать:

194

а	А
1
Ъ	2
В

а/

6) Рис. 65

в)

В учебнике А. В. Погорелова эта теорема формулируется в дизъюнктивной форме.

195

По учебнику Л. С. Атанасяна и др. (рис. 65)	По учебнику А. В. Погорелова (рис. 66)
1. Если Z1 и Z 2 прямые (рис. 65, б), то аиЬ перпендикулярны к прямой АВ и, следовательно, параллельны.	1. Пусть а и Ь непараллельны, т. е. пересекаются в точке С.
2. Пусть Z1 и Z 2 не прямые. Из середины О отрезка АВ проведем перпендикуляр ОН к прямой а (рис. 65, в).	2. Секущая АВ разбивает плоскость на две полуплоскости. В одной из них лежит точка С. Построим треугольник ВАС\ равный треугольнику ABC, с вершиной С\ в другой полуплоскости.
3. На прямой Ъ от точки В отложим отрезок ВН, равный отрезку АН (рис. 65, в), и проведем отрезок ОН\.	3. По условию Z 1 = Z 2 . Так как соответствующие углы треугольников АВС\ и ВАС с вершинами А и В равны, то они совпадают с внутренними накрест лежащими углами.
4. АОНА - А ОН] В по первому признаку равенства треугольников (АО ~ ВО, АН= ВН\, Z 1 = Z 2), поэтому Z3 = Z 4и Z 5 = Z6.	4. Из п. 3 следует, что прямая АС\ совпадает с прямой а, а прямая ВС\ совпадает с прямой Ъ.
5. Из равенства Z 3 = Z 4 следует, что точка Н\ лежит на продолжении луча ОН, т. е. точки Я, 0 и #i лежат на одной прямой.	5.Таким образом, через точки С и Cj проходят две различные прямые а и Ъ₉ что невозможно. Значит, прямые а и b параллельны.
6. Из равенства Z 5 = Z 6 следует, что Z 6 - прямой (так как Z 5 - прямой).
7. Из п. 6 следует, что а и Ъ перпендикулярны к прямой НН\, поэтому а \|\| Ъ.

196

Содержание