1. Из истории введения понятия функциональной зависимости в школьный курс математики
Понятие функции - одно из фундаментальных математических понятий, непосредственно связанных с реальной действительностью. В нем ярко воплощены изменчивость и динамичность реального мира, взаимная обусловленность реальных объектов и явлений. Именно в понятии функции в определенной степени отображается бесконечное многообразие явлений реального мира.
Термин «функция» впервые встречается в письме немецкого математика I В. Лейбница к голландскому математику X. Гюйгенсу в 1694 году. В обычное употребление термин введен в начале XVIII в. Иоганном Бернулли.
На рубеже XIX и XX веков в России и за границей прогрессивные математики и педагоги высказались за внедрение идеи функции в школьный курс математики. Русский педагог В. П. Шереметевский в статье «Математика как наука и её школьные суррогаты», опубликованной в журнале «Русская мысль» (№ 5, 1895) писал: «... Если вся математика есть, в сущности, учение о функциях, то ясно, и элементарный курс должен группироваться вокруг основного понятия о функциональной зависимости. Чем раньше оно будет вызвано и осторожно выращено в сознании учащихся, тем лучше».
На Западе за введение идеи функциональной зависимости в школьный курс
125
математики выступал известный немецкий педагог-математик Ф. Клейн (1849-1925), убежденный в ведущей роли этого понятия и в математике-науке и в обучении математике. Он считал понятие функции центральным понятием всей математики: «Какое же понятие в современной математике доминирует? Это есть понятие о функции. Изучение функции составляет предмет, можно сказать, всей высшей математики; установление функциональной зависимости между различного рода факторами составляет задачу прикладной математики» [5, с. 13]. И ещё: «Понятие о функции должно играть основную, так сказать, руководящую роль в курсе средней школы. Понятие это должно быть выяснено учащимися очень рано и должно пронизать все преподавание алгебры и геометрии» [там же, с. 13]. Пожелания Ф. Клейна легли в основу Меранских программ, которые были приняты в 1905 году. В России в 1911-1912 и 1913-1914 гг. были проведены I и II Всероссийские съезды преподавателей математики. Лейтмотивом большинства докладов на этих съездах прозвучала необходимость введения в школьный курс математики идеи функциональной зависимости. Первый съезд в своей резолюции записал: «Съезд признает своевременным опустить из курса математики средней школы некоторые вопросы второстепенного значения, провести через курс и ярко осветить идею функциональной зависимости». Профессор А. Я. Хинчин подчеркивал, что «понятие функциональной зависимости должно стать не только одним из важнейших понятий школьного курса математики, но и тем основным стержнем, проходящим от элементарной арифметики до высших разделов алгебры, геометрии и тригонометрии, вокруг которого группируется всё математическое преподавание» [11, с. 23]. Отметив недопустимость недооценки других не менее важных понятий, представлений и методов, А. Я. Хинчин указывал далее, почему понятие функциональной зависимости должно быть явно выделено из всех других основных математических понятий, с которыми знакомит учащихся средняя школа: во-первых, ни одно из других понятий не отражает явлений реальной действительности с такой непосредственностью и с такой конкретностью, как понятие функциональной зависимости, в котором воплощены и подвижность, динамичность реального мира, и взаимная обусловленность реальных величин; во-втоуых, это понятие, как ни одно другое, воплощает в себе диалектические черты современного математического мышления; именно оно приучает мыслить величины в их живой изменчивости, а не в искусственной неподвижности, в их взаимной связи и обусловленности, а не в искусственном отрыве их друг от друга; в третьихщ понятие функциональной зависимости есть основное понятие всей высшей математики и качество подготовки учащихся к усвоению курса математики в высшей школе в значительной степени измеряется тем, насколько твердо, полно и культурно они свыклись с этим важнейшим понятием. В ходе всех этих обсуждений возник вопрос, какое из исторически сложившихся определений понятия функции должно быть положено в основу изу- 126
- Цели, содержание и структура курса математики 5-6 классов
- Значение и место учения о числе в курсе математики общеобразовательной школы
- 5 Класс
- 6 Класс
- 3. Различные пути расширения понятия числа
- 4. Методика изучения натуральных чисел
- 4. Методика изучения натуральных чисел
- 5. Основные вопросы методики изучения дробей
- 5. Основные вопросы методики изучения дробей
- 6. Методика изучения положительных и отрицательных чисел
- I. Основные типы преобразований и этапы их изучения
- III этап. Организация целостной системы преобразований (синтез).
- Буквенной части слагаемых пока остается первой.
- 1. Содержание и роль линии уравнений и неравенств в современном школьном курсе математики
- 2. Основные понятия линии уравнений и неравенств
- I * hi лаже он и возникает по ходу обсуждения процесса решения, то ответ на не-
- Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
- * Последовательность изучения линии уравнений и неравенств
- I )гапы изучения линии уравнений, неравенств и их систем в основной школе
- 1* Курсе математики 5 класса понятие уравнения трактуется аналогично.
- Основные классы неравенств изучаются сразу вслед за изучением со- »»I мотствующих классов уравнений.
- I Ъшить уравнение - это значит найти все его корни или установить, что их нет.
- Решение квадратных уравнений и неравенств
- Il Графический метод (I способ)
- Графический метод
- Системы уравнений с двумя переменными, в которых одно или оба уравнения второй степени
- Графический метод
- Графический метод
- Графический метод
- Графический метод
- Графический метод
- Графический метод
- Il Графический метод
- Il Графический метод
- Графический метод
- Графический метод
- Графический метод
- Графический метод
- 1. Цели обучения решению текстовых задач
- 2. Пропедевтика алгебраического и геометрического методов решения текстовых задач
- 3. Этапы решения задач на составление уравнений и их реализация
- Этап {перевод задачи на геометрический язык).
- Этап (решение задачи на геометрическом языке).
- 1. Из истории введения понятия функциональной зависимости в школьный курс математики
- 2. Различные трактовки понятия функции
- 3. Методика введения понятия функции
- Этап. Мотивация введетя понятия.
- Исследовать функцию на основные свойства.
- Использовать изученные свойства функций при решении различных задач, в частности уравнений и неравенств.
- Влияние коэффициентов hub на поведение функции
- Взаимное расположение графиков линейных функции
- Б. Интеграция аналитического и графического методов в изучении квадратичной функции
- 1. Цели и задачи курса геометрии основной школы
- 2. Содержание обучения геометрии в 7-9 классах
- 3. Логические основы изложения геометрии в 7-9 классах
- Аксиомы принадлежности
- Аксиомы порядка
- Аксиомы измерения отрезков и углов
- Рекомендуемая литература
- 1. Методика изучения основных свойств простейших геометрических фигур
- 1. Учебник а. В. Погорелова: § 1 «Основные свойства простейших геометрических фигур»,
- Определения «через ближайший род и видовые отличия»
- Измерение отрезков и углов
- 3. Учебник а. Д. Александрова и др,: глава I «Начала геометрииж
- 2. Методика формирования геометрических понятий
- 3, Обучение решению задач на первых уроках геометрии
- II группа
- 1. Различные подходы к формированию понятия равенства фигур
- Что нужно знать, чтобы утверждать равенство треугольников abc и dek1
- На рисунке 55 изображено два равных треуголь- ника. Написать равенство этих треугольников, обозначив их вершины.
- Если разносторонние треугольники abc и dkm
- 11Ри иодом пример.
- I (сн тральное место в изучении равных треугольников занимают признаём риионота треугольников.
- Доказательство:
- Доказательство:
- Треугольники вас и cdb равны. Напишите все соотношения, из ко- торых следует равенство указанных треугольников.
- Напишите соотношение между элемен- тами треугольников abc и adc, из которых следовало бы их равенство.
- Какие методические подходы существуют к введению понятия ранено гва фигур в школьном курсе геометрии? Какой подход, на Ваш взгляд, милмется наиболее удачным?
- В чем особенности введения понятия равных треугольников в разных учебниках геометрии?
- Приведите примеры упражнений на усвоение понятия равных треугольников.
- I. Цели и этапы изучения взаимного расположения прямых на плоскости
- 1 Различные подходы к введению понятия параллельности прямых на плоскости.
- I. Методика изучения признаков параллельности прямых.
- 1, Цели и этапы изучения взаимного расположения прямых на плоскости
- 2. Различные подходы к введению понятия параллельности прямых на плоскости
- 4. Методические замечания к изучению перпендикулярности прямых на плоскости
- В данной плоскости через точку вне данной прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной.
- Сумма внутренних углов треугольника равна 2d.
- 1. Различные подходы к изучению многоугольников
- 2. Методика изучения четырехугольников
- Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны,
- Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечении делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм.
- Какие из систем неравенств задают на плоскости трапецию и почему? Покажите штриховкой множество точек плоскости, заданное системой неравенств:
- 1 H найти площадь трапеции.
- 1, Имеет1 ли ось симметрии фигура, заданная системой неравенств:
- Верно ли утверждение: а) любой правильный многоугольник является выпуклым; б) любой выпуклый многоугольник является правильным?
- Чему равны градусные меры углов: а) правильного пятиугольника; б) правильного двенадцатиугольника; в) правильного тридцатишестиугольника?
- Множество направленных отрезков плоскости.
- Множество классов направленных отрезков плоскости.
- Множество параллельных переносов плоскости.
- Начертите равнобочную трапецию: а) существуют ли векторы, определяемые её вершинами и равные по длине? б) Сколько пар сонаправленных векторов задают вершины трапеции?
- Сколько пар сонаправленных (противоположно направленных) векторов определяют вершины параллелограмма?
- Начертить параллелограмм, обозна- чить его вершины и написать все равные ме- жду собой векторы, началом и концом кото- рых являются вершины параллелограмма.
- Векторы а и ъ равны, что следует из этого?
- 3. Методика изучения действий с векторами
- II. Умножение вектора на число
- Учебник геометрии а. В. Погорелова.
- Учебник геометрии j1. С. Атанасяна и Др.
- Построить вектор, представляющий сумму
- 4. Методика обучения решению задач с помощью векторов
- 1. Дан многоугольник abcde. Представьте ad в виде суммы: а) двух; б) I рёх; в) четырех векторов, заданных вершинами этого многоугольника.
- Представьте вектор ав в виде суммы векторов ас, dc , bd .
- Вектор cDколлинеарен вектору ав и Выразите один век-
- Четырехугольник abcd - квадрат. Упростите выражение { ав - 3 вс)2,
- VI. Упражнения на нахождение длины вектора и величины угла между векторами.
- Какие действия с векторами изучаются в школьном курсе геометрии?
- Б) в треугольнике лвс известны длины всех сторон. Определить его углы.
- II кн. До н. Э.) уже фактически пользовался прямоугольными координатами.
- Простейшие задачи в координатах на плоскости
- Уравнения фигур на плоскости
- 4. Особенности применения метода координат
- 5. Методика формирования координатного метода решения задач
- Решение (координатный метод)
- Iэтап(оптимальный выбор прямоугольной системы координат). Выберем прямоугольную систему координат так, как показано на рис. 93.
- Этап (перевод задачи на координатный
- Так как м середина стороны вс, то л/
- Этап (решение задачи на координат- ном языке).
- Рекомендуемая литература
- Значение тригонометрических функций в школьном курсе математики и различные подходы к их изложению
- I ермипы «косинус», «котангенс» и др. Появились в XI—XVII вв.
- Этапы изучения линии уравнений, неравенств и их систем в
- Системы уравнений с двумя переменными, в которых
- Цели и этапы изучения взаимного расположения прямых на
- Различные подходы к введению понятии параллельности пря