logo
книга1

I (сн тральное место в изучении равных треугольников занимают призна­ём риионота треугольников.

11режде, чем, приступить к ознакомлению учащихся с этими признака­ми, мило пояснить термины «угол, прилежащий к стороне», «угол, противоле- •HiiiHii о тропе», «сторона, противолежащая углу», «угол, заключенный между миронами» и т.д.. Учащиеся не всегда могут указать угол, противолежащий MtHiMtirft о тропе тупоугольного треугольника (рис. 57).

11*1ио ню па чертеже продолжить стороны треугольника, заключающие й«{ннормП угол, и выяснить, что прилежащие стороны лежат на сторонах угла ‘ни ), а про гиполежащая углу сторона расположена внутри угла (рис. 58).

181

Ознакомление с признаками равенства треугольников можно осущест­вить посредством упражнения.

Например, перед введением признака равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними выполняется упражнение.

1. Постройте два треугольника ABC нАхВ\С\, у которых AB=A{Bi = 6cm,AC ~ А\С\ = 5 см, Z.A = ZA\ = 50°. Равны ли треугольники ABC и А\ВХС\1

Для того чтобы ответить на вопрос задачи, учащиеся должны (в рамках учебника А.В. Погорелова) измерить стороны ВС и В\С\, углы В, В\, С, С\ и сравнить результаты.

Упражнение приведет таким образом к выводу, что указанные треуголь­ники ABC и А\В\С\ равны. Так как выполнение этого упражнения требует про­ведения различных измерений, а значит, и времени, то целесообразнее предло­жить его в качестве домашнего задания, а на уроке обсудить результаты его выполнения. Можно использовать для ознакомления с признаком и специаль­ные модели.

По учебнику Л. С. Атанасяна и др. введение признаков равенства тре­угольников можно осуществить другим способом. Взять две каркасные модели треугольника, удовлетворяющие изучаемому признаку (равные элементы мож­но как-то выделить, например, окрасить одинаковым цветом), и наложить одну из них на другую (аналогичную операцию можно также выполнить с помощью компьютера). В результате этой операции треугольники совпадут, откуда и бу­дет следовать их равенство.

«Открыв» с учащимися признак равенства треугольников, следует под­черкнуть практическую значимость теоремы, которая позволяет делать вывод о равенстве двух треугольников не по равенству шести элементов треугольника (трех сторон и трех углов), а по равенству трех элементов (двух сторон и угла между ними; стороны и двух прилежащих к ней углов; трех сторон). Здесь же необходимо выяснить с учащимися и сущность понятия признака. Признак явления позволяет дать однозначный ответ на вопрос: принадлежит какой-либо объект данному явлению или нет?

Формулировки признаков равенства треугольников громоздки, поэтому целесообразно поэлементное их усвоение. Например, формулировка первого признака равенства треугольников может быть разбита на следующие элемен­ты: Если две стороны и угол между ними одного треугольника /равны соот­ветственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, / то та­кие треугольники равны.

182

После этого можно предложить упражнения на распознавание.

Важным этапом в изучении теоремы является её доказательство.

В учебнике JI. С. Атанасяна и др. доказательства первых двух признаков равенства треугольников аналогичны и осуществляются посредством наложе­ния. Рассмотренные нами упражнения на доказательство равенства фигур с по- мощью наложения способствуют усвоению этого метода, поэтому изучение первых двух признаков не вызывает затруднений у школьников.

Доказательство третьего признака равенства треугольников (по трем сторонам) не аналогично доказательству первых двух признаков, оно отлича­ется большей искусственностью. Однако и в этом случае можно привлечь учащихся к её доказательству. Их внимание следует обратить на то, что нало­жение треугольника ЛВС на треугольник А\В\С\ не приводит к успеху (ничего неизвестно об углах). Поэтому нужно искать новый способ доказательства. По­пробуем как-то «сблизить» эти треугольники, для чего наложим треугольник Ш(' на полуплоскость с границей АхВи не содержащую точку С\ (более под­робно доказательство см. в учебнике JI. С. Атанасяна и др.).

Доказательства первых двух признаков равенства треугольников в учеб­нике А. В. Погорелова основывается на аксиомах существования треугольника, ришюго данному, откладывания отрезка и угла. Поиск доказательства первого признака может быть начат такой беседой.

  1. Как будем доказывать равенство треугольников ABC и А \ВХС\ (рис. 59)?

Может быть кто-то из учащихся ответит, что нужно измерить стороны ВС И /м I И углы В, Вь С, С\. В случае равенства соответствующих сторон ВС и #1* I и равенства углов С и Сь В и Въ делаем вывод о равенстве самих тре- VIп н.никои. Но здесь необходимо заметить учащимся, что таким образом мы мишем установить равенство конкретных треугольников, да и то приближенно, и* ник практические измерения не дают точных результатов. Итак, нужно ис- мн. способ, который не основан на измерениях.

  1. 11сльзя ли ввести треугольник, равный треугольнику ABC и «удобнее» (ни-мищми'ппый по отношению к треугольнику А\В\С\.

Ннсдем треугольник А\В2Сг, расположенный так, что точка С2 принадле­жи чуму /1|Г|, а точка В2 лежит в одной полуплоскости с точкой Вх относи- ♦•имю прямой А\С\. Теперь задача заключается в доказательстве равенства фи мии.иикоп А\В\С\ кА\В2 С2.

1. Чк> надо знать, чтобы установить равенство треугольников AiBxC\ и

У’

! !ино ус мповить совпадение треугольников А\В\С\ и Л\В2 С2.

Рис. 59

183