logo
книга1

Графический метод

  1. Первое действие такое же, как и в случае алгебраического метода:

Гу = 5 -2,

  1. у = 8 - 6х + х2.

  1. Построим в одной системе ко- ординат графики функций у\ = 5 - 2х2 и У2 ~ 8 - 6х + х2 (рис. 11). Графиками яв- ляются две параболы. Для построения каждой из них найдем координаты вершины параболы и ось симметрии.

Ух = - 2х2 + 5, вершиной данной параболы является точка (0; 5), а осью симметрии - прямая х = 0.

У2 = х2 - 6х + 8,

Рис. 11

81

Хо ~ ~ = 3, у0 = f(xo) = -1, значит, вершиной параболы является точка

(3; -1), а осью симметрии - прямая х = 3.

Построение парабол осуществляем по схеме, рассмотренной нами.

Из рисунка видно и аналитическое решение подтверждает это, что па- раболы имеют одну общую точку С, то есть касаются, координаты этой точ- ки и являются решением данной системы уравнений: С (1; 3).

От в ет: (1; 3).

Таким образом, получаем вывод:

L Если система двух уравнений с двумя переменными, одно из ко- торых или оба второй степени, имеет единственное решение, то гео- метрически это означает, что графики первого и второго уравнений системы касаются или пересекаются в одной точке. Верно и обратное: если графики уравнений указанной системы касаются или пересекаются в одной точке, то данная система имеет единственное решение, кото- рым являются координаты точки касания или пересечения графиков.

Пример 9. Решить систему уравнений:

х22 = 4, х-у = 4.

Решение./. Алгебраический метод (способ подстановки)

  1. Выразим^ через х из второго уравнения системы:

у-х-4,

  1. Подставим в первое уравнение системы вместо у полученное выражение:

х2 + - 4)2 = 4.

  1. Решим полученное уравнение, предварительно преобразовав его:

х2 + х2 - 8х + 16 - 4 = О,

2 - 8х + 12 = О, х2 — 4х + 6 = 0.

Дискриминант этого уравнения D = 4- 6 = -2<0, это означает, что уравнение не имеет действительных корней, следовательно, и система урав-

нений не имеет решений.

Ответ: решений нет.

//. Графический метод Построим в одной системе коор- динат графики первого и второго урав- нений. График первого уравнения есть окружность с центром в точке (0; 0) и радиусом г — 2. Графиком второго урав- нения является прямая, проходящая че- рез точки (4; 0) и (0; -4) (рис. 12).

Из рисунка видим, что графики уравнений системы не имеют общих то- чек, а это означает, что система уравне“ ний не имеет решений.

82