logo
книга1

Простейшие задачи в координатах на плоскости

а) Нахождение координат середины отрезка. При нахождении коорди­нат середины отрезка рассматриваются два случая возможного расположения этого отрезка: отрезок АВ не параллелен оси Оу, то есть х\ и Х\ - Х2, то есть АВ I Оу.

В первом случае с помощью теоремы Фалеса доказываем, что точка С\ является серединой отрезка А\В\ (АА} || Оу, ВВ\ || Оу), С - середина АВ (рис. 83).

Из равенства A i С\ = В\С\ следует, что \ x-xi\ = \x-x2\. Последнее равен­ство известно учащимся из курса алгебры. Поэтому либо х - Х\ - х - х2, либо л: - х\ = - (х - хг). Первое невозможно, так как х\ *хъ Поэтому верно второе: х -

х\ = - х + Х2. Отсюда 2х = х\ + Х2, а х~ ** *-*2- - абсцисса точки С.

Если х{ ~ х2, то есть АВ || Оу, то все три точки Ли В} и С\ имеют одну и ту же абсциссу. Значит, формула остается верной и в этом случае.

Ордината точки С находится аналогично. Через точки А, В и С проводятся

прямые, параллельные оси Ох. В итоге получаем у = у-~ - ординату точки С.

б) Вычисление длины вектора по его координатам. В учебнике JI. С. Атана- сяна и др. доказывается, что длина вектора а (х; у) вычисляется по формуле

I а\= д/х2 + / .

Для доказательства этой формулы отложим от начала координат вектор ОА = а и проведем через точку А перпендикуляры АА\ и АА2 к осям Ох и Оу (рис. 84). Координаты точки А равны координатам векторов О А, т. е. (х; у). По­этому О А1 = | х\, АА\- ОА2 = | у| (мы рассматриваем случай, когда х * 0 и у * 0; другие случаи учащиеся могут рассмотреть самостоятельно).

По теореме Пифагора

О А ^ ^ОА} + ААj = -\fx2 + у2 .

Но | а\-\ОА\ = ОА, поэтому | а | = ^х2+у2 , что и требовалось доказать.

238

в) Нахождение расстояния между двумя точками по их координатам.

Формулы для вычисления расстояния между точками, координаты которых и тоеты, также рассматриваются для различных случаев расположения этих точек.

Найдем расстояние между точками А\ (хь у{) и А2

fey2).

а) Пусть х\ *х2, иу1 Фу2 (рис. 85).

В этом случае АА\ -1 у\ -у21; АА2 = | xY-х2|.

По теореме Пифагора

АХА2 = (xi -х2)2 + (у\ -у2)2.

После этого рассматриваются другие возмож- ные случаи:

  1. xi =х2, yi *у2;

  2. xi *х2, yi =у2;

  3. хх=х2, иу!=у2.

Полученная формула верна для каждого из

них случаев.

В учебнике JT. С. Атанасяна и др. иной подход к выводу формулы. Рас­сматривается вектор 4Л > находятся его координаты (если известны координа- H.I ого концов) и длина этого вектора через его координаты. В итоге получаем ntuyio же формулу.

  1.