1. Цели обучения решению текстовых задач

процесса и т.п. Как в любой модели, в текстовой задаче описывается не всё собы^^ тие или явление, а ли111ь его количественные и функ1Щоналып>1е характеристики.

В каждой текстовой задаче можно выделить:

1. чwcлoвbZ£ зшч£wш tfеличин, KoTopыe Ha3ыBaюTcя данными, или извест- ными (их должно быть не меньше двух);

2. некоторую систему функциональных зависимостей в неявной форме, взаимно связывающих искомое с данными и данные между собой;

3. требование или вопрос, на который надо найти ответ.

Числовые значения величин и существующие между ними зависимости, т.е. количественные и качественные характеристики объектов задачи и отноше­ний между ними, называют условием (или условиями) задачи. В задаче обычно не одно, а несколько условий, которые называют элементарными.

Требования могут быть сформулированы как в вопросительной, так и в повествовательной форме, их также может быть несколько. Величину, значения которой требуется найти, называют искомой величиной, а числовые значения искомых величин - искомыми, или неизвестными,

Основная особенность текстовых задач и трудность в решении состоит в том, что в них не указывается прямо, какое именно действие (или действия) должно быть выполнено для получения ответа на требование задачи, так, на­пример, не существует «правила» составления уравнения по условию задачи. Ответ на требование задачи получается в результате её решения. «Решить ма­тематическую задачу, по словам Л.М. Фридмана, - это значит найти такую последовательность общих положений математики (определений, аксиом, теорем, правил, законов, формул), применяя которые к условиям задачи или к их следствиям (промежуточным результатам решения), получаем то. что тре­буется в задаче, - её ответ» [17, с. 27].

б) Методы решения текстовых задач и их интеграция. Существуют различные методы решения текстовых задач: арифметический, алгебраический, геометрический, логический, практический и др. В основе каждого метода ле­жат различные виды математических моделей. Например, при алгебраическом методе решения задачи составляются уравнения или неравенства, при геомет­рическом - строятся диаграммы или графики. Решение задачи логическим ме­тодом начинается с составления алгоритма.

Дадим краткую характеристику первых трёх методов решения текстовых задач, которые наиболее часто встречаются в школьном курсе математики.

1. Арифметический метод. Решить задачу арифметическим методом - значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифмети­ческих действий над числами. Одну и ту лее задачу во многих случаях можно решить различными арифметическими способами. Задача считается решенной различными способами, если её решения отличаются связями между данными и искомыми, положенными в основу решений, или последовательностью исполь­зования этих связей.

2. Алгебраический метод. В науке данный метод трактуется как метод буквенных вычислений. Решить задачу алгебраическим методом - это значит

найти ответ на требование задачи, состяеие и решив уравнение или систему уравнений (или неравенств). Одну и ту же задачу можно также решить различ­ными алгебраическими способами. Задача считается решенной различными способами, если для её решения составлены различные уравнения или системы уравнений (неравенств), в основе составления которых лежат различные соот­ношения между данными и искомыми.

3. Геометрический метод. Он состоит в том, что логическое доказатель­ство или решение задачи направляется наглядным представлением, иногда до­казательство или решение видно из наглядной картины. Под геометрическим методом решения текстовых алгебраических задач будем понимать в даль­нейшем метод решения, заключающийся в использовании геометрических представлений (изображений), законов геометрии и элементов аналитических методов (уравнений (неравенств), систем уравнений, арифметических выра­жений и др.).

Решение любой текстовой задачи ученик должен начинать с рисунка или наглядного описания, вместе с рисунком должно идти точное понимание си­туации (или ситуаций), описанной в задаче. Ещё Г. Галилей писал: «Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать».

Геометрические представления возникают на основе геометрических зна­ний и геометрической интуиции. Геометрическое представление условия тек­стовой задачи будем называть геометрической моделью этой задачи. По­строение и использование геометрических моделей в процессе решения тексто­вых алгебраических задач основаны на законах геометрии. Отсюда и название «геометрический метод».

Проанализируем подробнее понятие «геометрический метод решения алгебраических задач». Традиционно под геометрическим методом решения задач (не только текстовых) в курсе алгебры понимали только конструктив­ный прием, когда решение выполнялось с помощью точных построений, и от­вет задачи получали прямо с чертежа. Это ограничивало возможности исполь­зования геометрических представлений, в частности, при решении текстовых задач. Мы будем понимать геометрический метод более широко, как метод, состоящий из двух приёмов: конструктивного и конструктивно- аналити­ческого (рис. 31).

Конструктивный прием предполагает выполнение всех построений чер­тёжными инструментами на миллиметровой бумаге или бумаге в клетку с ис­пользованием масштаба. Ответ задачи получается обычно приближённый, но приемлемый для практических целей, и находится он путем измерений длин отрезков или других элементов чертежа.

Конструктивно-аналитический приём позволяет выполнять чертёж схематически, от руки. Решение задачи в этом случае осуществляется аналити­чески: либо арифметическим путём с использованием чертежа, либо путем со­ставления уравнения, которое основывается на точных геометрических соот­ношениях (равенства, подобия, равновеликости и др.).