logo
книга1

Графический метод

  1. Построим в одной сис- теме координат графики функ- ций = | 5 - х | и>,2 = 2|х-2| (рис. 28).

  1. Абсциссы точек пересечения графиков найдем, решив уравнения:

  1. -х = -2х + 4 и 5 -х = 2х - 4, откудах\ ~ -1,х2= 3.

  1. Геометрически решить данное неравенство- это значит, найти те значения х, при которых график функции у} расположен не ниже графика функции у2= 21 х — 21.

Из рисунка видим, что это условие выполняется при -1 < х < 3.

О т в е т: -1 <х < 3.

Графический метод, как мы видим, здесь является более рациональным, наглядным и не требует каких-либо особых умений, кроме умений выпол- нять построение графика функции, содержащей модуль.

Пример 24. Решить неравенство I х - ll +1 х + ll < 4.

Решение./. Алгебраический метод

  1. Разобьем всю числовую прямую на три промежутка: (- оо; -1), [-1; 1] и (1; +оо). На каждом из этих промежутков запишем данное неравенство без модуля и решим его.

  1. На промежутке (- сю; -1) верны равенства

|x-l|=-x+l и|х+ll =-х-1, и наше неравенство примет вид: -2х < 4, откуда х > -2.

Учитывая данный промежуток, получаем решение исходного неравен- ства на этом промежутке: -2 < х < -1.

Б) На промежутке [-1; 1] верны равенства

|x-l|=-x+l и|х+1|=х+1, поэтому наше неравенство равносильно верному числовому неравенству 2 < 4, значит, все значения переменной, принадлежащие этому отрезку, входят в множество решений.

  1. На промежутке (1; +оо) верны равенства

|х-1|=х-1и |х + 1 I = Х+ 1, поэтому получаем, что наше неравенство равносильно линейному неравенст- ву 2х < 4, откуда х < 2.

Учитывая данный промежуток, по-

лучаем решение исходного неравенства на этом промежутке: 1< х < 2. Объединяя по- лученные результаты, делаем вывод: нера- венству удовлетворяют все значения пере- менной из интервала -2 < х < 2 и только они.

О т в е т: -2 < х < 2.

  1.