logo
книга1

Основные классы неравенств изучаются сразу вслед за изучением со- »»I мотствующих классов уравнений.

Имеются и промежуточные пути, когда некоторые классы уравнений и иг равенств сближены друг с другом по времени изучения, а другие, наобо- рш , не связаны. Различные подходы требуют и своей методики, различных приемов изучения материала. Мы будем придерживаться первого пути.

2. Методика изучения линейных уравнений с одним неизвестным

Линейные уравнения с одним неизвестным - это первый класс уравне­ний п курсе алгебры, поэтому от характера его изучения в значительной мере 1ММИСЯТ особенности организации всего последующего изучения линии урав-

61

нений и неравенств. При изучении этого класса уравнений формируется оСь щее понятие об уравнении, вводится соответствующая терминология.

Первая методическая задача, с которой сталкивается учитель, присту­пая к изложению этой темы, состоит в выделении формальной части понятии уравнений из той ситуации, в которой оно возникает. В качестве такой си­туации обычно выступает несложная текстовая задача, решение которой ал* гебраическим методом приводит к уравнению первой степени с одним неиз­вестным. Здесь следует обратить внимание учащихся на основной метод, примененный в решении задачи, - переход к её алгебраической модели, об­щий вид которой / (х)~ g (х)> где/и g - некоторые выражения, содержащие не­известное х.

Проследим, как реализуется этот этап на практике, например, по учебни­ку Макарычева Ю. Н. и др. «Алгебра 7» (М., 2002). Сначала решается зада­ча: «На нижней полке в 4 раза больше книг, чем на верхней. Если с нижней полки переставить на верхнюю 15 книг, то книг на полках станет поровну. Сколько книг на верхней поже?

Обозначим буквой х число книг на верхней полке. Тогда число книг на нижней полке равно 4х. На нижней полке останется: Ах - 15 книг, а на верх­ней будет х + 15 книг. По условию задачи после такой перестановки книг на полках окажется поровну. Значит,

4х- 15 - х+ 15».

Далее учитель говорит: «Чтобы найти неизвестное число книг, мы составили равенство, содержащее переменную. Такие равенства называют уравнениями с одной переменной или уравнениями с одним неизвестным. Нам надо найти число, при подстановке которого вместо х в уравнение 4х - 15 = х + 15 получается верное равенство. Такое число называют реше­нием уравнения или корнем уравнения». Затем формулируется определение.

Опр. L Корнем уравнения называется значение переменной, при кото­ром уравнение обращается в верное равенство.

Учащиеся убеждаются, что уравнение 4х-15=х+15 имеет один ко­рень - число 10. Затем выясняется, что можно привести примеры уравнений, которые имеют два, три и более корней или не имеют корней.

Так, уравнение (х - 4)(х - 5)(х - 6) = 0 имеет три корня х\ = 4, Х2 = 5, хз = 6.

Уравнение х + 2 = хне имеет корней, так как при любом значении х левая часть уравнения на 2 больше его правой части. В результате делается вывод: «Решить уравнение - значит найти все его корни или доказать, что корней нет».

Замечание. В различных учебниках применяется разная терминология, относящаяся к одному и тому же классу уравнений. Поэтому надо быть вни­мательным и употреблять только те термины, которые введены в учебнике, причем именно в том смысле, который им придается.

Рассмотрим теперь несколько подходов к выделению первого изучае­мого в курсе алгебры класса уравнений.

  1. В учебнике Ю. Н. Макарычева и др. «Алгебра 7» (М., 2002) - это линейные уравнения с одной переменной, то есть уравнения вида ах-Ъ, где х - переменная, аиЬ - числа. Это определение выделяет очень узкий класс

62