4. Методические замечания к изучению перпендикулярности прямых на плоскости
Учение о перпендикулярности прямых в средней школе, имеет в своей основе понятие угла между прямыми и умение измерять величину угла.
Случай перпендикулярных прямых появляется при рассмотрении пересекающихся прямых в 7 классе. Величину наименьшего из углов, образованных
197
двумя пересекающимися прямыми, считают углом между ними. Поэтому величина угла между пересекающимися прямыми не может превосходить 90°. В том случае, если угол между прямыми равен 90° (равен прямому углу), прямые называются перпендикулярными (перпендикуляр в переводе с лат. -«отвес»). Прямые, следовательно, будут перпендикулярны в том и только в том случае, если угол между ними равен 90°. Две пересекающие прямые образуют четыре угла. Если один из этих углов прямой, тогда любой из остальных трех углов будет либо смежным с этим углом, либо вертикальным с ним. Отсюда следует, что если один из углов прямой, то остальные углы тоже прямые. В этом случае говорят, что прямые пересекаются под прямым углом. Поэтому в учебнике А. В. Погорелова дается следующее определение перпендикулярных прямых: две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. В учебнике J1. С. Атанасяна и др. дается такое определение: две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они образуют четыре прямых угла. При введении понятия перпендикулярных прямых правильному его восприятию и более прочному запоминанию его определения помогает обращение к окружающей действительности, опора на жизненный опыт учащихся. Примеры перпендикулярных прямых в окружающей жизни убеждают учащихся в их существовании, в их большой значимости для практики, а значит, помогают создать правильное представление у них о природе этого понятия — о возникновении его на основе практической деятельности людей. После определения перпендикулярных прямых вводится соответствующая символика, проводится обучение учащихся использованию введенной символики при выполнении записей, а также обучение чтению записей, в которых используется символика. Перпендикулярность прямых обозначается знаком -L. Запись a _L в читается: «Прямая а перпендикулярна прямой в». Существование перпендикулярных прямых показывается конструктивно. В учебнике Л. С. Атанасяна (и др.) решается задача. Задача h Дана прямая а и точка на ней. Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную данной прямой. Способ решения этой задачи основан на свойстве медианы равнобедренного треугольника, проведенной к его основанию. Знакомство учащихся со способом построения перпендикуляра к прямой, проходящего через точку вне этой прямой, осуществляется также через решение задачи. В учебнике JI. С. Атанасяна и др. это задача № 153. Задача 2. Дана прямая а и точка М, не лежащая на ней. Постройте прямую, проходящую через точку Ми перпендикулярную к прямой а. Решение основано на использовании двух окружностей равных радиусов и свойстве биссектрисы равнобедренного треугольника, проведенной к его основанию. 198
В учебнике А. В. Погорелова доказывается теорема: через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну. Доказательство теоремы ведется методом от противного. По учебнику JI. С. Атанасяна и др. в 7 классе, а по учебнику А. В. Погорелова в 8 классе вводятся понятия перпендикуляра и наклонной к прямой. Определение. Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения. Этот конец отрезка называется основанием перпендикуляра. Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую, называется расстоянием от точки до прямой. В разделе о перпендикулярности прямых на плоскости рассматривается понятие наклонной к данной прямой. Поскольку через данную точку проходит только один перпендикуляр к данной прямой, то все остальные прямые, проходящие через эту точку (кроме прямой, параллельной ей), называют наклонными к данной прямой. В беседе с учащимися следует четко подчеркнуть, что через данную точку к данной прямой можно провести сколько угодно наклонных, а перпендикуляр только один. Методом от противного доказывается следующая теорема: из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один. В восьмом классе вводится понятие серединного перпендикуляра к отрезку. Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему. Затем доказывается теорема о серединном перпендикуляре к отрезку. Теорема. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Обратно: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему. Эта теорема состоит из двух теорем: прямой и обратной. Доказательство первой теоремы следует провести вместе с учащимися. Доказательство обратной теоремы можно дать с пояснениями в качестве домашнего задания. Постепенно в работе над понятием серединного перпендикуляра к отрезку выясняется, что прямая будет являться серединным перпендикуляром к отрезку в том и только том случае, если ее точки равноудалены от концов этого отрезка. В процессе такой работы формируются представления учащихся о необходимых и достаточных условиях, которые играют большую роль в дальнейшем построении курса математики средней школы. Учащимся надо разъяснить, что формулировка теоремы со словами «в гом и только в том случае» или «тогда и только тогда» включает в себя две теоремы — прямую и обратную. Большое значение для изучения последующих разделов курса геометрии и особенно для решения задач имеет установление взаимосвязи параллельности и перпендикулярности прямых, которая может быть раскрыта в процессе решения соответствующих задач на доказательство. 199
- Цели, содержание и структура курса математики 5-6 классов
- Значение и место учения о числе в курсе математики общеобразовательной школы
- 5 Класс
- 6 Класс
- 3. Различные пути расширения понятия числа
- 4. Методика изучения натуральных чисел
- 4. Методика изучения натуральных чисел
- 5. Основные вопросы методики изучения дробей
- 5. Основные вопросы методики изучения дробей
- 6. Методика изучения положительных и отрицательных чисел
- I. Основные типы преобразований и этапы их изучения
- III этап. Организация целостной системы преобразований (синтез).
- Буквенной части слагаемых пока остается первой.
- 1. Содержание и роль линии уравнений и неравенств в современном школьном курсе математики
- 2. Основные понятия линии уравнений и неравенств
- I * hi лаже он и возникает по ходу обсуждения процесса решения, то ответ на не-
- Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
- * Последовательность изучения линии уравнений и неравенств
- I )гапы изучения линии уравнений, неравенств и их систем в основной школе
- 1* Курсе математики 5 класса понятие уравнения трактуется аналогично.
- Основные классы неравенств изучаются сразу вслед за изучением со- »»I мотствующих классов уравнений.
- I Ъшить уравнение - это значит найти все его корни или установить, что их нет.
- Решение квадратных уравнений и неравенств
- Il Графический метод (I способ)
- Графический метод
- Системы уравнений с двумя переменными, в которых одно или оба уравнения второй степени
- Графический метод
- Графический метод
- Графический метод
- Графический метод
- Графический метод
- Графический метод
- Il Графический метод
- Il Графический метод
- Графический метод
- Графический метод
- Графический метод
- Графический метод
- 1. Цели обучения решению текстовых задач
- 2. Пропедевтика алгебраического и геометрического методов решения текстовых задач
- 3. Этапы решения задач на составление уравнений и их реализация
- Этап {перевод задачи на геометрический язык).
- Этап (решение задачи на геометрическом языке).
- 1. Из истории введения понятия функциональной зависимости в школьный курс математики
- 2. Различные трактовки понятия функции
- 3. Методика введения понятия функции
- Этап. Мотивация введетя понятия.
- Исследовать функцию на основные свойства.
- Использовать изученные свойства функций при решении различных задач, в частности уравнений и неравенств.
- Влияние коэффициентов hub на поведение функции
- Взаимное расположение графиков линейных функции
- Б. Интеграция аналитического и графического методов в изучении квадратичной функции
- 1. Цели и задачи курса геометрии основной школы
- 2. Содержание обучения геометрии в 7-9 классах
- 3. Логические основы изложения геометрии в 7-9 классах
- Аксиомы принадлежности
- Аксиомы порядка
- Аксиомы измерения отрезков и углов
- Рекомендуемая литература
- 1. Методика изучения основных свойств простейших геометрических фигур
- 1. Учебник а. В. Погорелова: § 1 «Основные свойства простейших геометрических фигур»,
- Определения «через ближайший род и видовые отличия»
- Измерение отрезков и углов
- 3. Учебник а. Д. Александрова и др,: глава I «Начала геометрииж
- 2. Методика формирования геометрических понятий
- 3, Обучение решению задач на первых уроках геометрии
- II группа
- 1. Различные подходы к формированию понятия равенства фигур
- Что нужно знать, чтобы утверждать равенство треугольников abc и dek1
- На рисунке 55 изображено два равных треуголь- ника. Написать равенство этих треугольников, обозначив их вершины.
- Если разносторонние треугольники abc и dkm
- 11Ри иодом пример.
- I (сн тральное место в изучении равных треугольников занимают признаём риионота треугольников.
- Доказательство:
- Доказательство:
- Треугольники вас и cdb равны. Напишите все соотношения, из ко- торых следует равенство указанных треугольников.
- Напишите соотношение между элемен- тами треугольников abc и adc, из которых следовало бы их равенство.
- Какие методические подходы существуют к введению понятия ранено гва фигур в школьном курсе геометрии? Какой подход, на Ваш взгляд, милмется наиболее удачным?
- В чем особенности введения понятия равных треугольников в разных учебниках геометрии?
- Приведите примеры упражнений на усвоение понятия равных треугольников.
- I. Цели и этапы изучения взаимного расположения прямых на плоскости
- 1 Различные подходы к введению понятия параллельности прямых на плоскости.
- I. Методика изучения признаков параллельности прямых.
- 1, Цели и этапы изучения взаимного расположения прямых на плоскости
- 2. Различные подходы к введению понятия параллельности прямых на плоскости
- 4. Методические замечания к изучению перпендикулярности прямых на плоскости
- В данной плоскости через точку вне данной прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной.
- Сумма внутренних углов треугольника равна 2d.
- 1. Различные подходы к изучению многоугольников
- 2. Методика изучения четырехугольников
- Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны,
- Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечении делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм.
- Какие из систем неравенств задают на плоскости трапецию и почему? Покажите штриховкой множество точек плоскости, заданное системой неравенств:
- 1 H найти площадь трапеции.
- 1, Имеет1 ли ось симметрии фигура, заданная системой неравенств:
- Верно ли утверждение: а) любой правильный многоугольник является выпуклым; б) любой выпуклый многоугольник является правильным?
- Чему равны градусные меры углов: а) правильного пятиугольника; б) правильного двенадцатиугольника; в) правильного тридцатишестиугольника?
- Множество направленных отрезков плоскости.
- Множество классов направленных отрезков плоскости.
- Множество параллельных переносов плоскости.
- Начертите равнобочную трапецию: а) существуют ли векторы, определяемые её вершинами и равные по длине? б) Сколько пар сонаправленных векторов задают вершины трапеции?
- Сколько пар сонаправленных (противоположно направленных) векторов определяют вершины параллелограмма?
- Начертить параллелограмм, обозна- чить его вершины и написать все равные ме- жду собой векторы, началом и концом кото- рых являются вершины параллелограмма.
- Векторы а и ъ равны, что следует из этого?
- 3. Методика изучения действий с векторами
- II. Умножение вектора на число
- Учебник геометрии а. В. Погорелова.
- Учебник геометрии j1. С. Атанасяна и Др.
- Построить вектор, представляющий сумму
- 4. Методика обучения решению задач с помощью векторов
- 1. Дан многоугольник abcde. Представьте ad в виде суммы: а) двух; б) I рёх; в) четырех векторов, заданных вершинами этого многоугольника.
- Представьте вектор ав в виде суммы векторов ас, dc , bd .
- Вектор cDколлинеарен вектору ав и Выразите один век-
- Четырехугольник abcd - квадрат. Упростите выражение { ав - 3 вс)2,
- VI. Упражнения на нахождение длины вектора и величины угла между векторами.
- Какие действия с векторами изучаются в школьном курсе геометрии?
- Б) в треугольнике лвс известны длины всех сторон. Определить его углы.
- II кн. До н. Э.) уже фактически пользовался прямоугольными координатами.
- Простейшие задачи в координатах на плоскости
- Уравнения фигур на плоскости
- 4. Особенности применения метода координат
- 5. Методика формирования координатного метода решения задач
- Решение (координатный метод)
- Iэтап(оптимальный выбор прямоугольной системы координат). Выберем прямоугольную систему координат так, как показано на рис. 93.
- Этап (перевод задачи на координатный
- Так как м середина стороны вс, то л/
- Этап (решение задачи на координат- ном языке).
- Рекомендуемая литература
- Значение тригонометрических функций в школьном курсе математики и различные подходы к их изложению
- I ермипы «косинус», «котангенс» и др. Появились в XI—XVII вв.
- Этапы изучения линии уравнений, неравенств и их систем в
- Системы уравнений с двумя переменными, в которых
- Цели и этапы изучения взаимного расположения прямых на
- Различные подходы к введению понятии параллельности пря