книга1
Графический метод
Построим в одной сис- теме координат графики функ- ций = | 5 - х | и>,2 = 2|х-2| (рис. 28).
Абсциссы точек пересечения графиков найдем, решив уравнения:
-х = -2х + 4 и 5 -х = 2х - 4, откудах\ ~ -1,х2= 3.
Геометрически решить данное неравенство- это значит, найти те значения х, при которых график функции у} расположен не ниже графика функции у2= 21 х — 21.
Из рисунка видим, что это условие выполняется при -1 < х < 3.
О т в е т: -1 <х < 3.
Графический метод, как мы видим, здесь является более рациональным, наглядным и не требует каких-либо особых умений, кроме умений выпол- нять построение графика функции, содержащей модуль.
Пример 24. Решить неравенство I х - ll +1 х + ll < 4.
Решение./. Алгебраический метод
Разобьем всю числовую прямую на три промежутка: (- оо; -1), [-1; 1] и (1; +оо). На каждом из этих промежутков запишем данное неравенство без модуля и решим его.
На промежутке (- сю; -1) верны равенства
|x-l|=-x+l и|х+ll =-х-1, и наше неравенство примет вид: -2х < 4, откуда х > -2.
Учитывая данный промежуток, получаем решение исходного неравен- ства на этом промежутке: -2 < х < -1.
Б) На промежутке [-1; 1] верны равенства
|x-l|=-x+l и|х+1|=х+1, поэтому наше неравенство равносильно верному числовому неравенству 2 < 4, значит, все значения переменной, принадлежащие этому отрезку, входят в множество решений.
На промежутке (1; +оо) верны равенства
|х-1|=х-1и |х + 1 I = Х+ 1, поэтому получаем, что наше неравенство равносильно линейному неравенст- ву 2х < 4, откуда х < 2.
Учитывая данный промежуток, по-
лучаем решение исходного неравенства на этом промежутке: 1< х < 2. Объединяя по- лученные результаты, делаем вывод: нера- венству удовлетворяют все значения пере- менной из интервала -2 < х < 2 и только они.
О т в е т: -2 < х < 2.
-
Содержание
-
Цели, содержание и структура курса математики 5-6 классов
-
Значение и место учения о числе в курсе математики общеобразовательной школы
-
5 Класс
-
6 Класс
-
3. Различные пути расширения понятия числа
-
4. Методика изучения натуральных чисел
-
4. Методика изучения натуральных чисел
-
5. Основные вопросы методики изучения дробей
-
5. Основные вопросы методики изучения дробей
-
6. Методика изучения положительных и отрицательных чисел
-
I. Основные типы преобразований и этапы их изучения
-
III этап. Организация целостной системы преобразований (синтез).
-
Буквенной части слагаемых пока остается первой.
-
1. Содержание и роль линии уравнений и неравенств в современном школьном курсе математики
-
2. Основные понятия линии уравнений и неравенств
-
I * hi лаже он и возникает по ходу обсуждения процесса решения, то ответ на не-
-
Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
-
* Последовательность изучения линии уравнений и неравенств
-
I )гапы изучения линии уравнений, неравенств и их систем в основной школе
-
1* Курсе математики 5 класса понятие уравнения трактуется аналогично.
-
Основные классы неравенств изучаются сразу вслед за изучением со- »»I мотствующих классов уравнений.
-
I Ъшить уравнение - это значит найти все его корни или установить, что их нет.
-
Решение квадратных уравнений и неравенств
-
Il Графический метод (I способ)
-
Графический метод
-
Системы уравнений с двумя переменными, в которых одно или оба уравнения второй степени
-
Графический метод
-
Графический метод
-
Графический метод
-
Графический метод
-
Графический метод
-
Графический метод
-
Il Графический метод
-
Il Графический метод
-
Графический метод
-
Графический метод
-
Графический метод
-
Графический метод
-
1. Цели обучения решению текстовых задач
-
2. Пропедевтика алгебраического и геометрического методов решения текстовых задач
-
3. Этапы решения задач на составление уравнений и их реализация
-
Этап {перевод задачи на геометрический язык).
-
Этап (решение задачи на геометрическом языке).
-
1. Из истории введения понятия функциональной зависимости в школьный курс математики
-
2. Различные трактовки понятия функции
-
3. Методика введения понятия функции
-
Этап. Мотивация введетя понятия.
-
Исследовать функцию на основные свойства.
-
Использовать изученные свойства функций при решении различных задач, в частности уравнений и неравенств.
-
Влияние коэффициентов hub на поведение функции
-
Взаимное расположение графиков линейных функции
-
Б. Интеграция аналитического и графического методов в изучении квадратичной функции
-
1. Цели и задачи курса геометрии основной школы
-
2. Содержание обучения геометрии в 7-9 классах
-
3. Логические основы изложения геометрии в 7-9 классах
-
Аксиомы принадлежности
-
Аксиомы порядка
-
Аксиомы измерения отрезков и углов
-
Рекомендуемая литература
-
1. Методика изучения основных свойств простейших геометрических фигур
-
1. Учебник а. В. Погорелова: § 1 «Основные свойства простейших геометрических фигур»,
-
Определения «через ближайший род и видовые отличия»
-
Измерение отрезков и углов
-
3. Учебник а. Д. Александрова и др,: глава I «Начала геометрииж
-
2. Методика формирования геометрических понятий
-
3, Обучение решению задач на первых уроках геометрии
-
II группа
-
1. Различные подходы к формированию понятия равенства фигур
-
Что нужно знать, чтобы утверждать равенство треугольников abc и dek1
-
На рисунке 55 изображено два равных треуголь- ника. Написать равенство этих треугольников, обозначив их вершины.
-
Если разносторонние треугольники abc и dkm
-
11Ри иодом пример.
-
I (сн тральное место в изучении равных треугольников занимают признаём риионота треугольников.
-
Доказательство:
-
Доказательство:
-
Треугольники вас и cdb равны. Напишите все соотношения, из ко- торых следует равенство указанных треугольников.
-
Напишите соотношение между элемен- тами треугольников abc и adc, из которых следовало бы их равенство.
-
Какие методические подходы существуют к введению понятия ранено гва фигур в школьном курсе геометрии? Какой подход, на Ваш взгляд, милмется наиболее удачным?
-
В чем особенности введения понятия равных треугольников в разных учебниках геометрии?
-
Приведите примеры упражнений на усвоение понятия равных треугольников.
-
I. Цели и этапы изучения взаимного расположения прямых на плоскости
-
1 Различные подходы к введению понятия параллельности прямых на плоскости.
-
I. Методика изучения признаков параллельности прямых.
-
1, Цели и этапы изучения взаимного расположения прямых на плоскости
-
2. Различные подходы к введению понятия параллельности прямых на плоскости
-
4. Методические замечания к изучению перпендикулярности прямых на плоскости
-
В данной плоскости через точку вне данной прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной.
-
Сумма внутренних углов треугольника равна 2d.
-
1. Различные подходы к изучению многоугольников
-
2. Методика изучения четырехугольников
-
Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны,
-
Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечении делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм.
-
Какие из систем неравенств задают на плоскости трапецию и почему? Покажите штриховкой множество точек плоскости, заданное системой неравенств:
-
1 H найти площадь трапеции.
-
1, Имеет1 ли ось симметрии фигура, заданная системой неравенств:
-
Верно ли утверждение: а) любой правильный многоугольник является выпуклым; б) любой выпуклый многоугольник является правильным?
-
Чему равны градусные меры углов: а) правильного пятиугольника; б) правильного двенадцатиугольника; в) правильного тридцатишестиугольника?
-
Множество направленных отрезков плоскости.
-
Множество классов направленных отрезков плоскости.
-
Множество параллельных переносов плоскости.
-
Начертите равнобочную трапецию: а) существуют ли векторы, определяемые её вершинами и равные по длине? б) Сколько пар сонаправленных векторов задают вершины трапеции?
-
Сколько пар сонаправленных (противоположно направленных) векторов определяют вершины параллелограмма?
-
Начертить параллелограмм, обозна- чить его вершины и написать все равные ме- жду собой векторы, началом и концом кото- рых являются вершины параллелограмма.
-
Векторы а и ъ равны, что следует из этого?
-
3. Методика изучения действий с векторами
-
II. Умножение вектора на число
-
Учебник геометрии а. В. Погорелова.
-
Учебник геометрии j1. С. Атанасяна и Др.
-
Построить вектор, представляющий сумму
-
4. Методика обучения решению задач с помощью векторов
-
1. Дан многоугольник abcde. Представьте ad в виде суммы: а) двух; б) I рёх; в) четырех векторов, заданных вершинами этого многоугольника.
-
Представьте вектор ав в виде суммы векторов ас, dc , bd .
-
Вектор cDколлинеарен вектору ав и Выразите один век-
-
Четырехугольник abcd - квадрат. Упростите выражение { ав - 3 вс)2,
-
VI. Упражнения на нахождение длины вектора и величины угла между векторами.
-
Какие действия с векторами изучаются в школьном курсе геометрии?
-
Б) в треугольнике лвс известны длины всех сторон. Определить его углы.
-
II кн. До н. Э.) уже фактически пользовался прямоугольными координатами.
-
Простейшие задачи в координатах на плоскости
-
Уравнения фигур на плоскости
-
4. Особенности применения метода координат
-
5. Методика формирования координатного метода решения задач
-
Решение (координатный метод)
-
Iэтап(оптимальный выбор прямоугольной системы координат). Выберем прямоугольную систему координат так, как показано на рис. 93.
-
Этап (перевод задачи на координатный
-
Так как м середина стороны вс, то л/
-
Этап (решение задачи на координат- ном языке).
-
Рекомендуемая литература
-
Значение тригонометрических функций в школьном курсе математики и различные подходы к их изложению
-
I ермипы «косинус», «котангенс» и др. Появились в XI—XVII вв.
-
Этапы изучения линии уравнений, неравенств и их систем в
-
Системы уравнений с двумя переменными, в которых
-
Цели и этапы изучения взаимного расположения прямых на
-
Различные подходы к введению понятии параллельности пря