книга1

Графический метод

Построим в одной системе координат графики функций уi = х³ и у₂ ⁼ ~-

(рис. 16). Из рисунка видно, что графики функций не имеют точек пересече

ния, значит, уравнение х'

неравенства.

.з _

не имеет корней. Решаем соответствующие

~~-t—I~~ i'-+

График функции y\ = x³ расположен выше графика функции у₂ = --

1 5

при х > О, значит, неравенство х > —

выполняется при х > 0. Аналогично, по рисунку видим, что график функции

-5

у\ - х³ расположен ниже графика функции^ “ при х < 0.

Рис. 16

Таким образом, графический метод подтверждает отсутствие корней у дан

ного уравнения и наглядно показывает решения соответствующих неравенств. Учащиеся, сопоставляя оба метода решения, приходят к выводу:

L Если уравнение, содержащее степень, не имеет корней, то геометрически это означает, что графики функций, стоящих в левой и правой частях уравнения, не имеют общих точек, т.е. не пересекаются и не совпадают. Верно и обратное: если графики функций, стоящих в левой и правой частях уравнения, содержащего степень, не имеют общих точек, то данное уравнение не имеет корней.

Среди уравнений, содержащих степень, часто встречаются такие, в которых переменная содержится под знаком радикала, то есть входит в подкоренное выражение. Такие уравнения называются иррациональными. Одно из таких уравнений мы уже рассмотрели в примере 12. Так как интеграция алгебраического и графического методов при решении иррациональных уравнений и неравенств имеет особое значение, то рассмотрим этот вид уравнений и неравенств подробнее.

Мотивацию введения понятия иррационального уравнения можно провести путем решения задачи.

Задача. В треугольнике ABC (рис. 51) BD перпендикулярно AC, AD = 2 см, DC = 5 см, АВ + ВС = 9 см. Найти BD.

такое уравнение называется иррациональным, затем формулируется определение самими учащимися или учителем.

Определение♦ Уравнение, в котором переменная входит в какое-либо выражение, стоящее под знаком корня, называется иррациональным.

Мы не будем подробно останавливаться на алгебраических методах

Решение.

Пусть длина отрезка BD равна х см.

~~Тогда АВ =~~ л]х²+4 и ~~ВС = /х~~² ~~+ 25 .~~

По условию задачи

~~А 2~~ D

Рис. 17

Учащиеся видят, что получилось уравнение, в котором, переменная входит в подкоренное выражение. Вводится термин

решения иррациональных уравнений, так как они описаны в учебниках и учебных пособиях для учащихся и абитуриентов, а ограничимся лишь их перечислением: 1) метод введения вспомогательных переменных, в результате чего решение иррационального уравнения сводится к решению систем уравнений, уже не содержащих радикалов; 2) метод изолирования (уединения) радикала и возведения обеих частей уравнения в степень, в результате чего приходим к уравнению, не содержащему радикалов или содержащему их меньшее число; 3) метод умножения обеих частей уравнения на выражение, сопряженное одной из его частей, и использования свойств монотонности функций.

Наиболее часто в школьной практике используется второй метод.

Следует заметить, что решение иррациональных уравнений и неравенств имеет свои особенности (опасности), в отличие от ранее рассмотрен- ных видов уравнений и неравенств, заключающиеся в том, что в ходе выполнения преобразований данного уравнения может быть появление посторонних корней или потеря корней. Поэтому необходима постоянная проверка полученных результатов и контроль выполняемых действий. Здесь интеграция алгебраического и геометрического (графического) методов в виде их сочетания или единства в одном методе не только желательна, но и необходима. Приведем примеры.

Пример 14. Решить уравнение yjl-x = х и соответствующие ему неравенства д/ 1 -х > х и д/ 1-х <х.

Решение./. Алгебраический метод

А) Решим сначала уравнение д/l - х = х.

L Найдем ОДЗ:

Сравним полученные результаты с ОДЗ. Как видим, х₂ < 0, поэтому он является посторонним корнем.

Б) Решим неравенство д/l - х > х.

Данное неравенство равносильно совокупности двух систем рациональных неравенств:

1 - х > О, х > О,

откуда 0 < х < 1.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

- х = х².

Решим полученное уравнение:

2 , 1 л ”1 + J~5

х + х - 1 = 0, откуда Xi = —, х₂ =

Содержание